(4,0 Pontos) Para concentrar 23893 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de uma solução de NaOH de 25% a 60% de sólidos em massa é utilizado um evaporador de efeito simples, estando a alimentação a 40^{\circ} \mathrm{C}. A pressão do vapor de aquecimento e 2,21 \mathrm{~atm}, e no espaço-vapor deve ser mantido um vácuo de 61 cm de Hg. O coeficiente global de transferência de calor e 2195 \mathrm{kcal} /\left(\mathrm{hm}^{2 \circ} \mathrm{C}\right).
a) Calcular o consumo de vapor,
b) Calcular a economia
c) Calcular a área de superfície de aquecimento.
d) Calcular o consumo de agua no condensador de superfície se a temperatura de entrada da agua de resfriamento for de 19^{\circ} \mathrm{C} e se o \Delta \mathrm{t} na saída do condensador for 12^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede (vou listar tudo de forma bem clara):
\begin{aligned} &\text{Alimentação (massa)}\;F = 23893\\ \mathrm{lb/h}.\\\ &\text{Composição da alimentação: }25\%\\ \text{(sólidos em massa)}.\\\ &\text{Produto desejado: }60\%\\ \text{(sólidos em massa)}.\\\ &\text{Temperatura da alimentação: }T_F = 40^\circ\mathrm{C}.\\\ &\text{Pressão do vapor de aquecimento: }P_{\text{vapor}} = 2{,}21\\ \mathrm{atm}\\ (\text{absoluta}).\\\ &\text{No espaço-vapor deve haver um vácuo de }61\\ \mathrm{cm\\ Hg}\\ (\text{em relação à atmosfera}).\\\ &\text{Coeficiente global de transferência de calor: }U = 2195\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h\;m^2\;^\circ C}).\\\ &\text{Temperatura de entrada da água de resfriamento no condensador: }19^\circ\mathrm{C}.\\\ &\text{O }\Delta T\text{ da água no condensador (elevação) é }12^\circ\mathrm{C}.\\\ &\text{O enunciado pede:}\\\ &\quad\text{(a) consumo de vapor (massa de vapor utilizada por hora);}\\\ &\quad\text{(b) economia (kg água evaporada / kg vapor usado);}\\\ &\quad\text{\text{(c)} área de aquecimento necessária (m}^2\text{);}\\\ &\quad\text{(d) consumo de água de resfriamento no condensador (kg/h ou m}^3\!/\mathrm{h}).} \end{aligned}

Passo 2

Conservação de massa (achar massa evaporada). Vou trabalhar em lb/h e depois converter para kg/h (pois U está em kcal/h e calorias têm relação direta com kg e °C).
  • Massa de sólidos na alimentação:
\text{Sólidos} = F \cdot 0{,}25 = 23893\cdot 0{,}25 = 5973{,}25\\ \mathrm{lb/h}.ó
  • Massa do produto (sólidos = 60% do produto):
P = \frac{\text{Sólidos}}{0{,}60} = \frac{5973{,}25}{0{,}60} = 9955{,}4167\\ \mathrm{lb/h}.ó
  • Massa evaporada (principalmente água):
E = F - P = 23893 - 9955{,}4167 = 13937{,}5833\\ \mathrm{lb/h}.
  • Converter massas para kg/h (1 lb = 0{,}45359237 kg):
\begin{aligned} F_{kg} &= 23893\cdot 0{,}45359237 = 10837{,}685\\ \mathrm{kg/h},\\\ E_{kg} &= 13937{,}5833\cdot 0{,}45359237 = 6321{,}981\\ \mathrm{kg/h}. \end{aligned}

Passo 3

Determinar as temperaturas de saturação (vou justificar as manipulações com o vácuo).
  • O vácuo de 61\\ \mathrm{cm\\ Hg} significa que a pressão absoluta no espaço-vapor é a pressão atmosférica menos 61\\ \mathrm{cm\\ Hg}. Considerando 1\\ \mathrm{atm}=76\\ \mathrm{cm\\ Hg}:
P_{\text{evap}} = \frac{76-61}{76}\\ \mathrm{atm} = \frac{15}{76}\\ \mathrm{atm} \approx 0{,}19737\\ \mathrm{atm}.
  • A partir das tabelas de vapor (saturation tables) sabemos aproximadamente que a temperatura de saturação correspondente a P_{\text{evap}}\approx 0{,}1974\\ \mathrm{atm} é cerca de
T_b \approx 60^\circ\mathrm{C}.
(Obs.: estou usando a relação pressão–temperatura das tabelas de vapor; para 0{,}2\\ \mathrm{atm} a T_{\mathrm{sat}} é aproximadamente 60^\circ\mathrm{C}.)
  • Para o vapor de aquecimento a P_{\text{vapor}}=2{,}21\\ \mathrm{atm} a temperatura de saturação (também de tabela) vale aproximadamente
T_s \approx 123{,}2^\circ\mathrm{C}.
(Eu obtive este valor por interpolação entre valores de tabela em 2{,}0 e 2{,}5\\ \mathrm{atm}.)
  • Portanto a diferença de temperatura de base para transferência de calor é
\Delta T = T_s - T_b \approx 123{,}2 - 60 = 63{,}2^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Fórmula de balanço de energia e escolha de propriedades (explicando passo a passo).
  • No evaporador de efeito simples, o calor cedido pelo vapor de aquecimento (quando condensa) é usado para:
    1. aquecer a alimentação de T_F até T_b (aquecimento sensível), e
    2. evaporar a massa E (calor latente).
  • Energia total requerida:
Q = m_{\text{feed}}\;c_p\;(T_b - T_F) + m_{\text{evap}}\;\lambda_{\text{evap}}.
Explico os termos:
  • m_{\text{feed}} = F_{kg} é a massa da alimentação em kg/h.
  • c_p é o calor específico aproximado da solução (vou usar c_p\approx 1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\;^\circ C)} como aproximação usual — a solução aquosa tem c_p muito próximo de 1).
  • T_b e T_F temperaturas em °C.
  • m_{\text{evap}} = E_{kg} é a massa evaporada por hora.
  • \lambda_{\text{evap}} é o calor latente à temperatura de ebulição T_b.
  • Valores de \lambda das tabelas (após consulta a tabelas de vapor):
    • À temperatura de ebulição T_b\approx 60^\circ\mathrm{C}, o calor latente da água (saturada) é aproximadamente \lambda_{\text{evap}}\approx 583\\ \mathrm{kcal/kg}.
    • Para o vapor de aquecimento que condensa a T_s\approx 123{,}2^\circ\mathrm{C}, o calor latente de condensação é aproximadamente \lambda_{\text{vapor}}\approx 528\\ \mathrm{kcal/kg}.
      (Obs.: estou explicitando que esses \lambda são valores retirados/estimados de tabelas de vapor; em provas normalmente se consulta a tabela ou o enunciado fornece.)
  • Agora calculemos a energia sensível e a energia de vaporização:
\begin{aligned} Q_{\text{sensible}} &= F_{kg}\cdot c_p\cdot (T_b - T_F) =10837{,}685\cdot 1{,}0\cdot (60-40)\\\ &=10837{,}685\cdot 20 = 216753{,}7\\ \mathrm{kcal/h}. \end{aligned}
\begin{aligned} Q_{\text{evap}} &= E_{kg}\cdot \lambda_{\text{evap}} =6321{,}981\cdot 583 = 3\,685\,714{,}923\\ \mathrm{kcal/h}. \end{aligned}
  • Assim a energia total necessária é
Q = Q_{\text{sensible}} + Q_{\text{evap}} = 216753{,}7 + 3\,685\,714{,}923 = 3\,902\,468{,}623\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 5

Calcular o consumo de vapor (massa de vapor) usando balanço de energia sobre o conjunto vapor → evaporador.
  • Quando \dot m_{\text{vapor}} condensa, libera aproximadamente \lambda_{\text{vapor}} por kg. Logo:
\dot m_{\text{vapor}}\cdot \lambda_{\text{vapor}} = Q.
Isolando \dot m_{\text{vapor}}:
\dot m_{\text{vapor}} = \frac{Q}{\lambda_{\text{vapor}}} = \frac{3\,902\,468{,}623}{528} \approx 7\,393{,}485\\ \mathrm{kg/h}.
  • Converter para lb/h:
\dot m_{\text{vapor(lbm/h)}} = 7\,393{,}485\cdot 2{,}20462262 \approx 16\,298{,}9\\ \mathrm{lb/h}.
(Arredondarei nas respostas finais para números com sentido prático.)

Passo 6

Calcular a economia.
  • Definição que usamos: economia = \dfrac{\text{massa de água evaporada}}{\text{massa de vapor usado}}á.
\text{economia} = \frac{m_{\text{evap}}}{m_{\text{vapor}}} = \frac{6321{,}981}{7393{,}485} \approx 0{,}855.
Isto significa que cada kg de vapor usado evapora cerca de 0{,}855 kg de água (é comum em efeito simples ter economia menor que 1, dependendo das temperaturas e calores latentes).

Passo 7

Calcular a área de superfície de aquecimento.
  • A equação de transferência de calor para o trocador de calor é
Q = U\cdot A \cdot \Delta T_{LM},
onde \Delta T_{LM} é a diferença de temperatura logarítmica média. Aqui a superfície do evaporador recebe calor de vapor que condensa a uma temperatura praticamente constante T_s e o líquido em ebulição fica à temperatura praticamente constante T_b; logo a diferença de temperatura é praticamente constante e a LMTD é simplesmente T_s - T_b:
\Delta T_{LM} = T_s - T_b = 123{,}2 - 60 = 63{,}2^\circ\mathrm{C}.
  • Isolando A:
A = \frac{Q}{U\cdot (T_s - T_b)} = \frac{3\,902\,468{,}623}{2195\cdot 63{,}2}.
  • Calcule o denominador:
2195\cdot 63{,}2 = 138724\\ \mathrm{kcal/(h\;m^2)}.
  • Logo
A = \frac{3\,902\,468{,}623}{138724} \approx 28{,}146\\ \mathrm{m^2}.

Passo 8

Calcular o consumo de água no condensador de superfície.
  • O total de calor a ser rejeitado no condensador é igual a Q (o calor liberado pela condensação do vapor), desprezando pequenas diferenças sensíveis na condensação. Logo o calor a ser absorvido pela água de resfriamento é Q.
  • Considerando c_p da água de resfriamento = 1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\;^\circ C)} e elevação de temperatura da água \Delta T_{\text{cw}} = 12^\circ\mathrm{C}, a vazão mássica de água de resfriamento necessária é:
\dot m_{\text{cw}} = \frac{Q}{c_p\cdot \Delta T_{\text{cw}}} = \frac{3\,902\,468{,}623}{1{,}0\cdot 12} \approx 325\,205{,}7186\\ \mathrm{kg/h}.
  • Convertendo para volume (densidade da água \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}):
\dot V_{\text{cw}} \approx 325{,}205{,}7\\ \mathrm{kg/h}\div 1000 \approx 325{,}206\\ \mathrm{m^3/h}.
(Se preferir em L/s: 325{,}206\\ \mathrm{m^3/h} = 90{,}335\\ \mathrm{L/s} — só para referência.)

Resposta

(a) \dot m_{\text{vapor}} \approx 16{,}299\\ \mathrm{lb/h}\\ \left(\approx 7{,}393\\ \mathrm{kg/h}\right)
(b) \text{economia} \approx 0{,}855 (kg água evaporada / kg vapor)
(c) A \approx 28{,}15\\ \mathrm{m^2}
(d) \dot m_{\text{água}} \approx 325{,}206\\ \mathrm{kg/h}\\ (\approx 325{,}206\\ \mathrm{m^3/h})á

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