(2,0 pontos) São dadas três caixas, como segue: A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas, a caixa \| tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa e a caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas. Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada, também aleatoriamente. Sabendo que a lâmpada é defeituosa, qual a probabilidade que ela tenha vindo da caixa II?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas.
  • Caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa.
  • Caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.
  • Seleciona-se uma caixa aleatoriamente e, em seguida, retira-se uma lâmpada aleatoriamente dessa caixa.
  • Pergunta: sabendo que a lâmpada retirada é defeituosa, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da caixa II?

Passo 2

Vamos definir eventos e anotar as probabilidades fornecidas (peguei os números do enunciado):
  • B_1: evento “a caixa escolhida é a caixa I”.
  • B_2: evento “a caixa escolhida é a caixa II”.
  • B_3: evento “a caixa escolhida é a caixa III”.
  • D: evento “a lâmpada retirada é defeituosa”.
Como a caixa é escolhida aleatoriamente entre três, temos as probabilidades a priori:
P(B_1)=P(B_2)=P(B_3)=\frac{1}{3}.
As probabilidades condicionais de retirar uma lâmpada defeituosa dado cada caixa (peguei esses números das quantidades de lâmpadas e defeituosas fornecidas):
P(D\mid B_1)=\frac{4}{10}, \qquad P(D\mid B_2)=\frac{1}{6}, \qquad P(D\mid B_3)=\frac{3}{8}.

Passo 3

Agora a teoria útil: queremos P(B_2\mid D), isto é, a probabilidade da caixa II ter sido escolhida dado que a lâmpada é defeituosa. Pela regra de Bayes (explicando didaticamente):
  • A fórmula de Bayes para este caso é
P(B_2\mid D)=\frac{P(D\mid B_2)\,P(B_2)}{P(D)},
onde P(D) é a probabilidade total de tirar uma lâmpada defeituosa, que se calcula usando a Lei da Probabilidade Total:
P(D)=P(D\mid B_1)P(B_1)+P(D\mid B_2)P(B_2)+P(D\mid B_3)P(B_3).
Explicando cada termo: P(D\mid B_i) é a chance de defeito se a caixa i foi escolhida; P(B_i) é a chance de escolher a caixa i. O denominador soma todas as maneiras possíveis de obter uma lâmpada defeituosa (passando por cada caixa).

Passo 4

Vamos calcular P(D) passo a passo, substituindo os números:
Primeiro somamos as contribuições dentro do parêntese:
\frac{4}{10}+\frac{1}{6}+\frac{3}{8}.
Para somar, passo a um denominador comum 120:
\frac{4}{10}=\frac{48}{120},\qquad \frac{1}{6}=\frac{20}{120},\qquad \frac{3}{8}=\frac{45}{120}.
Somando:
\frac{48}{120}+\frac{20}{120}+\frac{45}{120}=\frac{113}{120}.
Como cada caixa é escolhida com probabilidade \dfrac{1}{3}, temos
P(D)=\frac{1}{3}\cdot\frac{113}{120}=\frac{113}{360}.
Agora calculemos o numerador de Bayes P(D\mid B_2)P(B_2):
P(D\mid B_2)P(B_2)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{18}.
Transformando ambos para denominador comum 360 para ver a relação:
\frac{1}{18}=\frac{20}{360},\qquad P(D)=\frac{113}{360}.
Portanto, aplicando Bayes:
P(B_2\mid D)=\frac{\dfrac{1}{18}}{\dfrac{113}{360}}=\frac{1}{18}\cdot\frac{360}{113}=\frac{20}{113}.
Convertendo para decimal e porcentagem (para intuição):
\frac{20}{113}\approx 0,177\approx 17,7\%.

Passo 5

Interpretação final (rápida e motivadora): mesmo sabendo que a lâmpada é defeituosa, a probabilidade de ela ter vindo da caixa II é relativamente baixa ( 20/113), porque a caixa II tem poucas lâmpadas defeituosas em relação às outras caixas. Você conseguiu — é só aplicar Bayes com calma e organizar as contas em frações comuns.

Resposta

\dfrac{20}{113}\approx 0,177 (aprox. 17{,}7\%)

Exercícios relacionados