(2,0 pontos) São dadas três caixas, como segue: A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas, a caixa
tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa e a caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas. Selecionamos uma caixa aleatoriamente e então retiramos uma lâmpada, também aleatoriamente. Sabendo que a lâmpada é defeituosa, qual a probabilidade que ela tenha vindo da caixa II?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são defeituosas.
- Caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa.
- Caixa III tem 8 lâmpadas, das quais 3 são defeituosas.
- Seleciona-se uma caixa aleatoriamente e, em seguida, retira-se uma lâmpada aleatoriamente dessa caixa.
- Pergunta: sabendo que a lâmpada retirada é defeituosa, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da caixa II?
Passo 2
Vamos definir eventos e anotar as probabilidades fornecidas (peguei os números do enunciado):
-
: evento “a caixa escolhida é a caixa I”. -
: evento “a caixa escolhida é a caixa II”. -
: evento “a caixa escolhida é a caixa III”. -
: evento “a lâmpada retirada é defeituosa”.
Como a caixa é escolhida aleatoriamente entre três, temos as probabilidades a priori:
As probabilidades condicionais de retirar uma lâmpada defeituosa dado cada caixa (peguei esses números das quantidades de lâmpadas e defeituosas fornecidas):
Passo 3
Agora a teoria útil: queremos
, isto é, a probabilidade da caixa II ter sido escolhida dado que a lâmpada é defeituosa. Pela regra de Bayes (explicando didaticamente):
- A fórmula de Bayes para este caso é
onde
é a probabilidade total de tirar uma lâmpada defeituosa, que se calcula usando a Lei da Probabilidade Total:
Explicando cada termo:
é a chance de defeito se a caixa
foi escolhida;
é a chance de escolher a caixa
. O denominador soma todas as maneiras possíveis de obter uma lâmpada defeituosa (passando por cada caixa).
Passo 4
Vamos calcular
passo a passo, substituindo os números:
Primeiro somamos as contribuições dentro do parêntese:
Primeiro somamos as contribuições dentro do parêntese:
Para somar, passo a um denominador comum
:
Somando:
Como cada caixa é escolhida com probabilidade
, temos
Agora calculemos o numerador de Bayes
:
Transformando ambos para denominador comum
para ver a relação:
Portanto, aplicando Bayes:
Convertendo para decimal e porcentagem (para intuição):
Passo 5
Interpretação final (rápida e motivadora): mesmo sabendo que a lâmpada é defeituosa, a probabilidade de ela ter vindo da caixa II é relativamente baixa (
), porque a caixa II tem poucas lâmpadas defeituosas em relação às outras caixas. Você conseguiu — é só aplicar Bayes com calma e organizar as contas em frações comuns.