(2.5 pontos) O conjunto \left\{(2,1,-2)^{\top},(3,2,-2)^{\top},(2,2,0)^{\top}\right\} é um gerador para R^{3} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3}:
v_{1}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{pmatrix},\qquad v_{3}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix}.
A pergunta é: esse conjunto é um gerador de \mathbb{R}^{3}? Ou seja, esses vetores geram todo \mathbb{R}^{3} — qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear deles?
Informações relevantes fornecidas:
  • Os três vetores acima são os únicos dados.
  • Deve-se justificar a resposta (mostrar por que geram ou por que não geram \mathbb{R}^{3}).]

Passo 2

O que significa "gerador de \mathbb{R}^{3}"? Vou explicar passo a passo, com cuidado: um conjunto de vetores gera \mathbb{R}^{3} quando qualquer vetor w\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear desses vetores, ou seja, existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
w = a v_{1} + b v_{2} + c v_{3}.
Uma condição prática muito usada: um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} gera \mathbb{R}^{3} se, e somente se, esses vetores forem linearmente independentes — equivalente a dizer que a matriz formada por esses vetores como colunas tem posto 3 (ou determinante não nulo). Se o determinante dessa matriz for zero, os vetores são linearmente dependentes e não geram todo \mathbb{R}^{3} (geram uma subvariedade de dimensão menor, normalmente um plano).

Passo 3

Vou testar linear independência calculando o determinante da matriz que tem v_{1},v_{2},v_{3} como colunas:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\[2pt] 1 & 2 & 2\\[2pt] -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq 0 então geram \mathbb{R}^{3}. Se \det(A)=0 então não geram.]

Passo 4

Calculo do determinante de A (usando desenvolvimento pela primeira linha):
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]-2 & 0\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]-2 & 0\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]-2 & -2\end{pmatrix}.
Agora avalio cada menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[2pt]-2 & 0\end{pmatrix}=2\cdot 0 - 2\cdot(-2)=4,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]-2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 2\cdot(-2)=4,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]-2 & -2\end{pmatrix}=1\cdot(-2)-2\cdot(-2)=-2+4=2.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot 4 - 3\cdot 4 + 2\cdot 2 = 8 - 12 + 4 = 0.]

Passo 5

Interpretação do resultado: \det(A)=0 implica que os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes. Logo não formam uma base de \mathbb{R}^{3} e, portanto, não geram todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Para ficar bem concreto (e útil na prova), vou encontrar uma relação de dependência linear explícita — isto ajuda a entender por que não geram. Procuro escalares \alpha,\beta\) tais que \[v_{3}=\alpha v_{1}+\beta v_{2}.
Escrevendo coordenada a coordenada, obtenho o sistema
\begin{cases} 2\alpha + 3\beta = 2,\\[4pt] \alpha + 2\beta = 2,\\[4pt] -2\alpha -2\beta = 0. \end{cases}
Resolvo o sistema: da terceira equação vem -2\alpha -2\beta =0 \Rightarrow \alpha + \beta = 0 \Rightarrow \alpha = -\beta.\] Substituindo na segunda equação: \[-\beta + 2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 2 \Rightarrow \alpha = -2.\] Verificação na primeira equação: \[2(-2) + 3(2) = -4 +6 =2,\] funciona. Logo \[v_{3} = -2 v_{1} + 2 v_{2}.\] Isso mostra explicitamente que \(v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes (um é combinação linear dos outros).]

Passo 7

Conclusão didática: como há uma relação de dependência linear não trivial, o espaço gerado por esses três vetores tem dimensão menor que 3 (no caso é 2), isto é, eles geram um plano em \mathbb{R}^{3}, não todo \mathbb{R}^{3}. Portanto o conjunto não é um gerador de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Não. Os vetores não geram \mathbb{R}^{3} (são linearmente dependentes, pois (2,2,0)^{\top} = -2(2,1,-2)^{\top} + 2(3,2,-2)^{\top}).

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