A pergunta é: esse conjunto é um gerador de \mathbb{R}^{3}? Ou seja, esses vetores geram todo \mathbb{R}^{3} — qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear deles?
Informações relevantes fornecidas:
Os três vetores acima são os únicos dados.
Deve-se justificar a resposta (mostrar por que geram ou por que não geram \mathbb{R}^{3}).]
Passo 2
O que significa "gerador de \mathbb{R}^{3}"? Vou explicar passo a passo, com cuidado: um conjunto de vetores gera \mathbb{R}^{3} quando qualquer vetor w\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear desses vetores, ou seja, existem escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
w = a v_{1} + b v_{2} + c v_{3}.
Uma condição prática muito usada: um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} gera \mathbb{R}^{3} se, e somente se, esses vetores forem linearmente independentes — equivalente a dizer que a matriz formada por esses vetores como colunas tem posto 3 (ou determinante não nulo). Se o determinante dessa matriz for zero, os vetores são linearmente dependentes e não geram todo \mathbb{R}^{3} (geram uma subvariedade de dimensão menor, normalmente um plano).
Passo 3
Vou testar linear independência calculando o determinante da matriz que tem v_{1},v_{2},v_{3} como colunas:
Interpretação do resultado: \det(A)=0 implica que os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes. Logo não formam uma base de \mathbb{R}^{3} e, portanto, não geram todo \mathbb{R}^{3}.
Passo 6
Para ficar bem concreto (e útil na prova), vou encontrar uma relação de dependência linear explícita — isto ajuda a entender por que não geram. Procuro escalares \alpha,\beta\) tais que
\[v_{3}=\alpha v_{1}+\beta v_{2}.
Escrevendo coordenada a coordenada, obtenho o sistema
Resolvo o sistema: da terceira equação vem -2\alpha -2\beta =0 \Rightarrow \alpha + \beta = 0 \Rightarrow \alpha = -\beta.\] Substituindo na segunda equação:
\[-\beta + 2\beta = 2 \Rightarrow \beta = 2 \Rightarrow \alpha = -2.\]
Verificação na primeira equação:
\[2(-2) + 3(2) = -4 +6 =2,\]
funciona. Logo
\[v_{3} = -2 v_{1} + 2 v_{2}.\]
Isso mostra explicitamente que \(v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes (um é combinação linear dos outros).]
Passo 7
Conclusão didática: como há uma relação de dependência linear não trivial, o espaço gerado por esses três vetores tem dimensão menor que 3 (no caso é 2), isto é, eles geram um plano em \mathbb{R}^{3}, não todo \mathbb{R}^{3}. Portanto o conjunto não é um gerador de \mathbb{R}^{3}.
Resposta
Não. Os vetores não geram \mathbb{R}^{3} (são linearmente dependentes, pois (2,2,0)^{\top} = -2(2,1,-2)^{\top} + 2(3,2,-2)^{\top}).