( 3,5 pontos) Considerando que a vazão de saída de água do umidificador é de 200 \mathrm{~mL} / \mathrm{h}, e que esta sai a 18^{\circ} \mathrm{C}, quanto tempo será necessário para elevar a umidade de uma sala de 30 \% para 70 \%, considerando que esta apresenta temperatura inicial de 30^{\circ} \mathrm{C} ? Qual a temperatura da sala ao ser alcançada a umidade relativa de 70 \% ? Considere que a sala possui as medidas de 3 \mathrm{~m} \times 4 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado nos dá um umidificador que injeta água à vazão de 200\text{ mL/h} 0,2 kg/h) e a 18^\circ\text{C} em uma sala de dimensões 3\times4\times3,m, com temperatura inicial de 30^\circ\text{C} e umidade relativa de 30\%. Queremos saber (a) o tempo para passar de 30\% para 70\% de UR e (b) a temperatura da sala quando atingir 70\% de UR.
Conteúdo: balanço de massa de vapor d’água e balanço de energia (sensible + latente), usando propriedades do ar ( \rho, c_{p,\text{ar}}, da água líquida c_{p,\ell} e calor latente de vaporização h_v, além de cálculo de pressão de saturação p_{\rm sat}(T).

Passo 2

Calcular a massa de ar seco na sala.
A sala tem volume
V = 3\cdot4\cdot3 = 36\\ \rm m^3
Adotando \rho_{\rm ar}=1{,}2\\ \rm kg/m^3, a massa de ar seco é
m_a = \rho_{\rm ar}\,V = 1{,}2\cdot36 = 43{,}2\\ \rm kg.

Passo 3

Expressar a massa de vapor inicial e final em função da umidade relativa.
A umidade absoluta (razão de mistura) é
\omega = 0{,}622\,\frac{p_v}{p_{\rm tot}-p_v},
onde p_v=\mathrm{UR}\times p_{\rm sat}(T) e p_{\rm tot}=101{,}325\\ \rm kPa.
  1. Em T_1=30^\circ\text{C}, p_{\rm sat}(30)=4{,}246\\ \rm kPa. Com UR inicial 0{,}30,
p_{v1}=0{,}30\cdot4{,}246=1{,}274\\ \rm kPa,
\omega_1=0{,}622\frac{1{,}274}{101{,}325-1{,}274}\approx0{,}00792,
m_{w1}=m_a\,\omega_1=43{,}2\cdot0{,}00792\approx0{,}3424\\ \rm kg.
  1. Em T_2 (desconhecido) e UR final 0{,}70,
p_{v2}=0{,}70\,p_{\rm sat}(T_2),
\omega_2=0{,}622\,\frac{0{,}70\,p_{\rm sat}(T_2)}{101{,}325-0{,}70\,p_{\rm sat}(T_2)},
m_{w2}=m_a\,\omega_2.

Passo 4

Balanço de massa de vapor: a água adicionada vira vapor, de modo que
m_{w2}-m_{w1}=m_{\rm add},
e como o umidificador fornece 0{,}2\\ \rm kg/h tem-se
m_{\rm add}=0{,}2\,t\quad(t\text{ em horas}).
Logo
m_a\,\omega_2 - 0{,}3424 = 0{,}2\,t. \tag{1}

Passo 5

Balanço de energia (sala isolada): o ar e a água líquida cedem calor para aquecer a água de 18^\circ a T_2 e para vaporizar (calor latente). Logo a soma das cargas deve ser zero:
m_a\,c_{p,\rm ar}(T_2 - 30) + m_{\rm add}\,c_{p,\ell}(T_2 - 18) + m_{\rm add}\,h_v = 0.
Adotando \,c_{p,\rm ar}=1{,}005\\ \rm kJ/(kg\,K), \,c_{p,\ell}=4{,}18\\ \rm kJ/(kg\,K), \,h_v=2257\\ \rm kJ/kg, \,m_{\rm add}=0{,}2\,t,
temos após reorganizar
0{,}2\,t\bigl[4{,}18\,(T_2-18)+2257\bigr] +43{,}2\cdot1{,}005\,(T_2-30)=0.
Ou
t\,(0{,}836\,T_2 +436{,}352) =43{,}416\,(30-T_2). \tag{2}

Passo 6

Expressar m_a\,\omega_2 da Eq.(1) em função de T_2 usando a pressão de saturação. Usamos a fórmula de Tetens
p_{\rm sat}(T)=0{,}61078\exp\!\Bigl(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\Bigr)\quad(\rm kPa).
Então a Eq.(1) fica
43{,}2\cdot0{,}622\, \frac{0{,}70\,p_{\rm sat}(T_2)} {101{,}325-0{,}70\,p_{\rm sat}(T_2)} -0{,}3424 =0{,}2\,t.
Da Eq.(2) isolamos
t=\frac{43{,}416\,(30-T_2)}{0{,}836\,T_2+436{,}352}.
Substituímos em (1) e resolvemos numericamente em T_2.

Passo 7

Iterando (tabela ou software), obtém-se
T_2\approx21{,}8^\circ\text{C},
e então de
t=\frac{43{,}416\,(30-21{,}8)}{0{,}836\cdot21{,}8+436{,}352} \approx0{,}78\\ \rm h\approx46{,}6\\ min.

Resposta

Tempo necessário \approx0{,}78\\ \rm h (cerca de 47 minutos).
Temperatura final da sala \approx21{,}8^\circ\text{C}.

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