(2 pontos) Considere o campo \overrightarrow{\mathrm{F}}(x, y)=(2 x-y, 5 y-x). (a) \overrightarrow{\mathrm{F}} é conservativo? Se for, encontre f
  • PROBLEMA 4 tal que \vec{F}=\nabla f. Se não for, prove que não é. (b) Calcule \int_{C} \vec{F}. d \vec{r} onde C é o arco de círculo que vai de (0,3) a (3,0) no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \overrightarrow{\mathrm{F}}(x,y)=(2x-y,\;5y-x). Perguntas pedidas:
  • (a) Determinar se \overrightarrow{\mathrm{F}} é conservativo. Se for, encontrar uma potencial f tal que \overrightarrow{\mathrm{F}}=\nabla f.
  • (b) Calcular \displaystyle\int_{C}\overrightarrow{\mathrm{F}}\cdot d\overrightarrow{r}, onde C é o arco de círculo que vai de (0,3) a (3,0) no primeiro quadrante.
Informações relevantes dadas:
  • Componente P(x,y)=2x-y.
  • Componente Q(x,y)=5y-x.
  • A curva C une os pontos (0,3) e (3,0) passando pelo primeiro quadrante (orientação implícita: de (0,3) para (3,0)).

Passo 2

Critério para campo conservativo em \mathbb{R}^2 (explicação didática curta e prática):
  • Para um campo \overrightarrow{\mathrm{F}}=(P,Q) com P,Q de classe C^1 em todo \mathbb{R}^2 (ou em uma região simplesmente conexa), uma condição simples e muito usada é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • Se essa igualdade vale em uma região simplesmente conexa, então \overrightarrow{\mathrm{F}} é conservativo (ou seja, existe uma função potencial f com \nabla f=\overrightarrow{\mathrm{F}}).
  • Intuição: essa igualdade garante que as derivadas parciais de uma potencial hipotético batem sem contradição. Região simplesmente conexa evita “buracos” onde um campo poderia falhar em ser gradiente apesar da igualdade local.
Aplicando ao nosso campo:
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y)=2x-y,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y)=5y-x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(5y-x)=-1.
  • As duas derivadas parciais coincidem: -1=-1.
Além disso, P e Q são polinômios definidos em toda \mathbb{R}^2, que é uma região simplesmente conexa. Portanto a condição é suficiente e concluímos que \overrightarrow{\mathrm{F}} é conservativo.

Passo 3

Método para encontrar a potencial f (explicando cada passo):
  • Se \overrightarrow{\mathrm{F}}=\nabla f, então
\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=2x-y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=5y-x.
  • Para obter f, integramos \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x-y em relação a x, tratando y como constante. Isso dá uma expressão de f com uma “constante” de integração que pode depender de y:
f(x,y)=\int(2x-y)\,dx = x^2-xy+g(y),
onde g(y) é uma função desconhecida de y (porque a integração em x pode gerar uma função que depende só de y).

Passo 4

Determinar g(y) usando a condição sobre \partial f/\partial y:
  • Derivando a expressão obtida para f em relação a y,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2-xy+g(y)\bigr)=-x+g'(y).
  • Devemos ter \dfrac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=5y-x. Igualando,
-x+g'(y)=5y-x.
  • Cancelando -x dos dois lados, obtém-se
g'(y)=5y.
  • Integrando em y,
g(y)=\int 5y\,dy=\frac{5}{2}y^2 + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 5

Escrever a potencial final e checagem rápida:
  • Substituindo g(y) em f,
f(x,y)=x^2-xy+\frac{5}{2}y^2 + C.
  • Podemos escolher C=0 para uma potencial particular. Verificação (rápida): calcular \nabla f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-y=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-x+5y=Q.
As componentes batem com \overrightarrow{\mathrm{F}}, portanto f é uma potencial válida.

Passo 6

Calcular a integral de linha usando o teorema fundamental para campos conservativos (explicação didática):
  • Para um campo conservativo \overrightarrow{\mathrm{F}}=\nabla f, a integral de linha entre dois pontos A e B ao longo de qualquer curva C contida na região é
\int_{C}\overrightarrow{\mathrm{F}}\cdot d\overrightarrow{r}=f(B)-f(A).
  • Aqui A=(0,3) e B=(3,0) (orientação dada: de (0,3) para (3,0)). Como o campo é conservativo e definido em toda \mathbb{R}^2, podemos aplicar diretamente essa fórmula, não importando o formato do arco circular.

Passo 7

Avaliar f nos pontos e obter o valor da integral (contas detalhadas):
  • Usar a potencial escolhida f(x,y)=x^2-xy+\dfrac{5}{2}y^2.
  • Calcular f em B=(3,0):
f(3,0)=3^2-3\cdot 0 + \frac{5}{2}\cdot 0^2 = 9.
  • Calcular f em A=(0,3):
f(0,3)=0^2-0\cdot 3 + \frac{5}{2}\cdot 3^2 = \frac{5}{2}\cdot 9 = \frac{45}{2}.
  • Portanto a integral é
\int_{C}\overrightarrow{\mathrm{F}}\cdot d\overrightarrow{r}=f(3,0)-f(0,3)=9-\frac{45}{2}=\frac{18-45}{2}=-\frac{27}{2}.

Resposta

(a) f(x,y)=x^2-xy+\dfrac{5}{2}y^2.\n
(b) \displaystyle\int_{C}\overrightarrow{\mathrm{F}}\cdot d\overrightarrow{r}=-\dfrac{27}{2}.

Exercícios relacionados