- PROBLEMA 1
(2 pontos) Calcule
onde R é a regiāo limitada por
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(2 pontos) Calcule
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região limitada por
,
e
. As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a ser integrada é
. - A região
é limitada por (eixo ), por (parábola) e pela reta vertical . - Não há outras restrições; portanto a região é a porção entre
e para os que aparam ao intervalo entre as interseções (veremos isso explicitamente nos próximos passos).
Passo 2
Identificar os limites de integração. As curvas
e
se interceptam em
. A reta
limita à direita. Então, para
variando de
a
, o
varia de
até
. Portanto podemos escrever a integral iterada (integrando primeiro em
, depois em
):
Explicação didática rápida: ao descrever
como um conjunto de pontos
, estamos fixando um
e permitindo que
varie entre as curvas inferior e superior. Como a curva superior é dada explicitamente por
, é natural integrar primeiro em
.
Passo 3
Calcular a integral interna em
. Para cada
fixo,
é constante frente à integração em
, então:
A primitiva de
em
é
(porque
). Assim:
Como
, obtemos
Passo 4
Agora substituímos o resultado na integral externa e obtemos uma integral em
:
Para resolver
usamos substituição (método padrão para integrais com
multiplicando uma função de
). Seja
. Então:
Quando
,
. Quando
,
. Portanto:
Passo 5
Calcular a integral de
. A primitiva de
é
. Logo:
Como
, isto fica
Passo 6
Interpretação final e correspondência com as alternativas: o valor da integral é
, que coincide com a alternativa (e).
Força aí! O passo a passo foi: descrever a região, montar a integral iterada, integrar em
usando a primitiva de
, reduzir para uma integral em
e resolver por substituição
.
Resposta
(e)