• PROBLEMA 1
    (2 pontos) Calcule \iint_{R} x \cos (2 y) \mathrm{d} A onde R é a regiāo limitada por y=0, y=x^{2} e x=1.
    (a) \frac{1-\cos (1)}{2}
    (b) \frac{1-\cos (1)}{4}
    (c) \frac{1-\cos (2)}{2}
    (d) \frac{1-\cos (2)}{4}
    (e) \frac{1-\cos (2)}{8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{R} x\cos(2y)\,dA, onde R é a região limitada por y=0, y=x^{2} e x=1. As alternativas são:
(a) \dfrac{1-\cos(1)}{2}
(b) \dfrac{1-\cos(1)}{4}
(c) \dfrac{1-\cos(2)}{2}
(d) \dfrac{1-\cos(2)}{4}
(e) \dfrac{1-\cos(2)}{8}
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a ser integrada é f(x,y)=x\cos(2y).
  • A região R é limitada por y=0 (eixo x), por y=x^{2} (parábola) e pela reta vertical x=1.
  • Não há outras restrições; portanto a região é a porção entre y=0 e y=x^{2} para os x que aparam ao intervalo entre as interseções (veremos isso explicitamente nos próximos passos).

Passo 2

Identificar os limites de integração. As curvas y=0 e y=x^{2} se interceptam em x=0. A reta x=1 limita à direita. Então, para x variando de 0 a 1, o y varia de 0 até x^{2}. Portanto podemos escrever a integral iterada (integrando primeiro em y, depois em x):
\iint_{R} x\cos(2y)\,dA \;=\; \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{x^{2}} x\cos(2y)\,dy\right)dx.
Explicação didática rápida: ao descrever R como um conjunto de pontos (x,y), estamos fixando um x e permitindo que y varie entre as curvas inferior e superior. Como a curva superior é dada explicitamente por y=x^2, é natural integrar primeiro em y.

Passo 3

Calcular a integral interna em y. Para cada x fixo, x é constante frente à integração em y, então:
\int_{y=0}^{x^{2}} x\cos(2y)\,dy = x\int_{0}^{x^{2}} \cos(2y)\,dy.
A primitiva de \cos(2y) em y é \dfrac{1}{2}\sin(2y) (porque \dfrac{d}{dy}\sin(2y)=2\cos(2y)). Assim:
x\int_{0}^{x^{2}} \cos(2y)\,dy = x\left[\tfrac{1}{2}\sin(2y)\right]_{0}^{x^{2}} = x\cdot\tfrac{1}{2}\big(\sin(2x^{2})-\sin(0)\big).
Como \sin(0)=0, obtemos
\int_{y=0}^{x^{2}} x\cos(2y)\,dy = \tfrac{x}{2}\sin(2x^{2}).

Passo 4

Agora substituímos o resultado na integral externa e obtemos uma integral em x:
\iint_{R} x\cos(2y)\,dA = \int_{0}^{1} \tfrac{x}{2}\sin(2x^{2})\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} x\sin(2x^{2})\,dx.
Para resolver \int x\sin(2x^{2})\,dx usamos substituição (método padrão para integrais com x multiplicando uma função de x^{2}). Seja u=2x^{2}. Então:
du = 4x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{4}\,du.
Quando x=0, u=0. Quando x=1, u=2. Portanto:
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} x\sin(2x^{2})\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{u=0}^{2} \sin(u)\cdot \tfrac{1}{4}\,du = \tfrac{1}{8}\int_{0}^{2}\sin(u)\,du.

Passo 5

Calcular a integral de \sin(u). A primitiva de \sin(u) é -\cos(u). Logo:
\tfrac{1}{8}\int_{0}^{2}\sin(u)\,du = \tfrac{1}{8}\big[-\cos(u)\big]_{0}^{2} = \tfrac{1}{8}\big(-\cos(2)+\cos(0)\big).
Como \cos(0)=1, isto fica
\tfrac{1}{8}\big(1-\cos(2)\big).

Passo 6

Interpretação final e correspondência com as alternativas: o valor da integral é \dfrac{1-\cos(2)}{8}, que coincide com a alternativa (e).
Força aí! O passo a passo foi: descrever a região, montar a integral iterada, integrar em y usando a primitiva de \cos(2y), reduzir para uma integral em x e resolver por substituição u=2x^{2}.

Resposta

(e) \dfrac{1-\cos(2)}{8}

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