• PROBLEMA 2
    (2 pontos) Calcule \iint_{D} x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y onde \mathrm{D}=\{(x, y): 0 \leq x \leq y \leq 1\}.
    (a) \frac{-2}{15}
    (b) \frac{-1}{15}
    (c) 0
    (d) \frac{1}{15}
    (e) \frac{2}{15}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla
\iint_{D} x^{2}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
onde a região D é dada por
D=\{(x,y): 0 \le x \le y \le 1\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é f(x,y)=x^{2}y.
  • A região D é o triângulo no plano limitado por x=0, y=1 e pela reta x=y, com x sempre menor ou igual a y.
    O que se pede: avaliar numericamente essa integral dupla.

Passo 2

Decidir a ordem de integração e escrever o integral iterado.
Explicação didática: para integrar em uma região triangular como D, é natural usar integração iterada. A desigualdade 0\le x\le y\le 1 indica que, para um y fixo, x varia de 0 até y. Portanto a ordem \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y é conveniente: primeiro integra-se em x com limite inferior 0 e superior y; depois integra-se em y de 0 a 1.
Por Fubini (a função x^{2}y é contínua em D), vale a igualdade entre a integral dupla e a iterada. Assim escrevemos:
\iint_{D} x^{2}y\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{y} x^{2}y\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y.

Passo 3

Preparar a integração interna.
Didática sobre tratamento de constantes: ao integrar em x a expressão x^{2}y, o y é tratado como constante (pois a integração é em relação a x). Podemos então fatorar y para fora da integral interna:
\int_{x=0}^{y} x^{2}y\,\mathrm{d}x = y\int_{0}^{y} x^{2}\,\mathrm{d}x.
Lembrete de fórmula básica de antiderivada (regra do polinômio): para n\neq -1,
\int x^{n}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui usaremos com n=2.

Passo 4

Calcular a integral interna passo a passo.
Usando a fórmula acima com n=2,
\int_{0}^{y} x^{2}\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{y} = \frac{y^{3}}{3}-0 = \frac{y^{3}}{3}.
Multiplicando pelo y que estava fatorado:
\int_{x=0}^{y} x^{2}y\,\mathrm{d}x = y\cdot\frac{y^{3}}{3} = \frac{y^{4}}{3}.

Passo 5

Calcular a integral externa.
Agora integramos em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \frac{y^{4}}{3}\,\mathrm{d}y = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} y^{4}\,\mathrm{d}y.
Aplicando novamente a regra do polinômio com n=4:
\int_{0}^{1} y^{4}\,\mathrm{d}y = \left[\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{5}}{5}-0 = \frac{1}{5}.
Portanto
\frac{1}{3}\int_{0}^{1} y^{4}\,\mathrm{d}y = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{15}.

Passo 6

Verificação rápida por plausibilidade (pequeno reforço didático).
A integral é positiva porque sobre a região D temos x\ge0 e y\ge0, logo x^{2}y\ge0. O resultado \frac{1}{15} é um número pequeno e positivo, compatível com a função x^{2}y sendo pequena dentro do triângulo unitário. Isso serve como checagem rápida que não houve sinal errado.

Resposta

(d) \dfrac{1}{15}

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