- PROBLEMA 2
(2 pontos) Calcule
onde
.
(a)
(b)
(c) 0
(d)
(e)
(2 pontos) Calcule
(a)
(b)
(c) 0
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla
onde a região
é dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar é
. - A região
é o triângulo no plano limitado por , e pela reta , com sempre menor ou igual a .
O que se pede: avaliar numericamente essa integral dupla.
Passo 2
Decidir a ordem de integração e escrever o integral iterado.
Explicação didática: para integrar em uma região triangular como
, é natural usar integração iterada. A desigualdade
indica que, para um
fixo,
varia de
até
. Portanto a ordem
é conveniente: primeiro integra-se em
com limite inferior
e superior
; depois integra-se em
de
a
.
Por Fubini (a função
é contínua em
), vale a igualdade entre a integral dupla e a iterada. Assim escrevemos:
Passo 3
Preparar a integração interna.
Didática sobre tratamento de constantes: ao integrar em
a expressão
, o
é tratado como constante (pois a integração é em relação a
). Podemos então fatorar
para fora da integral interna:
Lembrete de fórmula básica de antiderivada (regra do polinômio): para
,
Aqui usaremos com
.
Passo 4
Calcular a integral interna passo a passo.
Usando a fórmula acima com
,
Multiplicando pelo
que estava fatorado:
Passo 5
Calcular a integral externa.
Agora integramos em
de
a
:
Aplicando novamente a regra do polinômio com
:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida por plausibilidade (pequeno reforço didático).
A integral é positiva porque sobre a região
temos
e
, logo
. O resultado
é um número pequeno e positivo, compatível com a função
sendo pequena dentro do triângulo unitário. Isso serve como checagem rápida que não houve sinal errado.
Resposta
(d)