- (2,5 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cest as de bens
podem ser representadas pela função utilidade
. Esse consumidor possui renda
e se depara com os preços
. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda,
e
, como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) (1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) (1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
Passo 1
O enunciado apresenta um consumidor com utilidade
que maximiza sua utilidade sujeito à restrição orçamentária
O conteúdo é maximização de utilidade com método de Lagrange e, depois, obtenção da utilidade indireta e da utilidade marginal da renda.
Passo 2
Formamos a função de Lagrange
As condições de primeira ordem são
e a restrição orçamentária com igualdade
Passo 3
Das FOC obtemos
Substituindo na restrição orçamentária,
Logo as demandas ótimas são
Passo 4
A utilidade indireta
é
Como
temos
Passo 5
A utilidade marginal da renda é
Comparando com o multiplicador
vemos que
Resposta
(a)
(b)
(c)
ou seja, a utilidade marginal da renda coincide com o multiplicador de Lagrange.