1. (2,5 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cest as de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2} podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\begin{gathered} \max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=-\frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}} \\\ \text { sujeito a: } \\\ p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m . \end{gathered}
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indiret a do consumidor (função valor).
(c) (1,0 ponto) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.

Passo 1

O enunciado apresenta um consumidor com utilidade
u(x_{1},x_{2})=-\frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}}
que maximiza sua utilidade sujeito à restrição orçamentária
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\le m.
O conteúdo é maximização de utilidade com método de Lagrange e, depois, obtenção da utilidade indireta e da utilidade marginal da renda.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda) =-\frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}} +\lambda\bigl(m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}} =2x_{1}^{-3}-\lambda p_{1}=0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}} =2x_{2}^{-3}-\lambda p_{2}=0,
e a restrição orçamentária com igualdade
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.

Passo 3

Das FOC obtemos
2x_{1}^{-3}=\lambda p_{1} \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\Bigl(\frac{2}{\lambda p_{1}}\Bigr)^{1/3},
2x_{2}^{-3}=\lambda p_{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=\Bigl(\frac{2}{\lambda p_{2}}\Bigr)^{1/3}.
Substituindo na restrição orçamentária,
p_{1}\Bigl(\frac{2}{\lambda p_{1}}\Bigr)^{1/3} +p_{2}\Bigl(\frac{2}{\lambda p_{2}}\Bigr)^{1/3} =m
\Longrightarrow \frac{2^{1/3}}{\lambda^{1/3}}\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr) =m \;\;\Longrightarrow\;\; \lambda =\frac{2\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr)^{3}}{m^{3}}.
Logo as demandas ótimas são
x_{i}^{*} =\Bigl(\frac{2}{\lambda p_{i}}\Bigr)^{1/3} =\frac{m\,p_{i}^{-1/3}}{p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}}, \quad i=1,2.

Passo 4

A utilidade indireta v(p_{1},p_{2},m) é
v(p_{1},p_{2},m) =u\bigl(x_{1}^{*},x_{2}^{*}\bigr) =-\frac{1}{(x_{1}^{*})^{2}}-\frac{1}{(x_{2}^{*})^{2}}.
Como
\frac{1}{(x_{1}^{*})^{2}} =\frac{\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr)^{2}}{m^{2}}\,p_{1}^{2/3}, \quad \frac{1}{(x_{2}^{*})^{2}} =\frac{\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr)^{2}}{m^{2}}\,p_{2}^{2/3},
temos
v(p_{1},p_{2},m) =-\frac{\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr)^{3}}{m^{2}}.

Passo 5

A utilidade marginal da renda é
\frac{\partial v}{\partial m} =\frac{\partial}{\partial m} \Bigl[-\frac{\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr)^{3}}{m^{2}}\Bigr] =2\,\frac{\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr)^{3}}{m^{3}}.
Comparando com o multiplicador
\lambda =\frac{2\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr)^{3}}{m^{3}},
vemos que
\frac{\partial v}{\partial m}=\lambda.

Resposta

(a)
x_{i}^{*}(p_{1},p_{2},m) =\frac{m\,p_{i}^{-1/3}}{p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}}, \quad i=1,2.
(b)
v(p_{1},p_{2},m) =-\frac{\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr)^{3}}{m^{2}}.
(c)
\frac{\partial v}{\partial m} =2\,\frac{\bigl(p_{1}^{2/3}+p_{2}^{2/3}\bigr)^{3}}{m^{3}} =\lambda,
ou seja, a utilidade marginal da renda coincide com o multiplicador de Lagrange.

Exercícios relacionados