As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{ll}1 & x \\\\ 2 & 1 \\\\ 3 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz de coeficientes de um sistema com 3 equações e 2 incógnitas,
\begin{pmatrix} 1 & x\\\\ 2 & 1\\\\ 3 & y \end{pmatrix},
e pede que o sistema tenha ou zero ou infinitas soluções, dependendo de \boldsymbol b. Para isso, precisamos que o posto da matriz de coeficientes seja 1 (menor que o número de incógnitas), assim há sempre uma variável livre e, quando compatível, infinitas soluções; se não compatível, posto da matriz ampliada será 2 e não haverá solução.

Passo 2

Para que a segunda linha seja múltiplo da primeira, devemos ter
(2,1)=2\,(1,x).
Da primeira componente vem 2=2\cdot1, OK. Da segunda, 1=2x, logo
x=\tfrac12.

Passo 3

De modo similar, para que a terceira linha seja múltiplo da primeira, impomos
(3,y)=3\,(1,x).
Da primeira componente 3=3\cdot1, OK. Da segunda, y=3x. Substituindo x=\tfrac12,
y=3\cdot\tfrac12=\tfrac32.

Passo 4

Com x=\tfrac12 e y=\tfrac32, todas as linhas são múltiplos da primeira, então o posto da matriz de coeficientes é 1.
  • Se o vetor \boldsymbol b=(b_1,b_2,b_3) satisfaz b_2=2b_1 e b_3=3b_1, o sistema é compatível com uma variável livre e, portanto, tem infinitas soluções.
  • Se \boldsymbol b não satisfaz essas condições, o posto da matriz ampliada sobe para 2 e o sistema fica sem solução.

Resposta

x=\tfrac12,\quad y=\tfrac32.

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