( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firm as: 1 e 2. Suponh que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)-b p_{2}
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m éo gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de complementaridade entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)-b p_{2}\right]-m
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admit a que
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) (1,0 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser impost a sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
(c) (1,0 ponto) Calcule o impacto de uma mudança infinitesimal em p_{2} sobre p_{1}^{*} e m^{*}. An alise os sinais.
Passo 1
O enunciado descreve a firma 1 que, enfrentando demanda
Vamos (i) tirar as condições de primeira ordem e achar os sinais de p_{1}^{*}-c e de q_{1}^{*}, (ii) expor as condições de segunda ordem para máximo local e (iii) usar o Teorema da Função Implícita para estudar \dfrac{dp_{1}^{*}}{dp_{2}} e \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}}.
De modo análogo, o co-fator que gera \dfrac{dm^{*}}{dp_{2}} também é negativo, implicando
\dfrac{dm^{*}}{dp_{2}}<0.
Isto significa que, se o preço p_{2} da firma 2 aumenta, a firma 1 reduz tanto seu preço ótimo p_{1}^{*} quanto seu investimento ótimo em marketing m^{*}.