- (2,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens
podem ser representadas pela função utilidade
. Esse consumidor possui renda
e se depara com os preços
. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
sujeito a:
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda,
e
, como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c)
ponto
Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c)
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a utilidade
sujeito à restrição orçamentária
onde
e
.
Vamos usar o método de Lagrange para obter as demandas Marshallianas e
.
Vamos usar o método de Lagrange para obter as demandas Marshallianas
Passo 2
Definimos o Lagrangeano
As condições de primeira ordem são
Da primeira equação vem
e da segunda
Dividindo termo a termo obtemos
Passo 3
Substituímos
na restrição orçamentária:
Para simplificar reescrevemos
mas é mais fácil usar simetria: correndo de novo, chega-se a
(Quem fizer direto usando variáveis
,
chega no mesmo resultado mais rápido.)
Passo 4
A utilidade indireta é
. Como
temos
Mas
logo
Passo 5
A utilidade marginal da renda é
Por outro lado, nas condições de primeira ordem temos
e, avaliando no ponto ótimo (usando
), chega-se a
Portanto
ou seja, a utilidade marginal da renda é exatamente o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária.
Resposta
v(
\frac{\partial v}{\partial m} = \lambda = \frac{