1. (2,0 pontos) Considere um consumidor cujas preferências sobre cestas de bens \left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2} podem ser representadas pela função utilidade u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\right)^{2}. Esse consumidor possui renda m>0 e se depara com os preços p_{1}, p_{2}>0. O problema de maximização de utilidade do consumidor é o seguinte:
\max _{x_{1}, x_{2}} u\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\right)^{2}
sujeito a:
p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2} \leq m .
(a) (1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre as funções demanda, x_{1}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right) e x_{2}^{*}\left(p_{1}, p_{2}, m\right), como solução das condições de primeira ordem do problema de maximização de utilidade do consumidor.
(b) ( 0,5 ponto) Encontre a função utilidade indireta do consumidor (função valor).
(c) (0,5 ponto ) Calcule a utilidade marginal da renda. Qual a sua relação com o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária? Mostre.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a utilidade
u(x_{1},x_{2}) = \bigl(\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}\bigr)^{2}
sujeito à restrição orçamentária
p_{1}x_{1} + p_{2}x_{2} \le m,
onde m>0 e p_{1},p_{2}>0.
Vamos usar o método de Lagrange para obter as demandas Marshallianas x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},m) e x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},m).

Passo 2

Definimos o Lagrangeano
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda) = \bigl(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\bigr)^{2} \;+\;\lambda\bigl(m - p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\bigr).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}} = 2\bigl(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\bigr)\frac{1}{2\sqrt{x_{1}}} \;-\;\lambda\,p_{1} = 0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}} = 2\bigl(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\bigr)\frac{1}{2\sqrt{x_{2}}} \;-\;\lambda\,p_{2} = 0.
Da primeira equação vem
\frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}{\sqrt{x_{1}}} = \lambda\,p_{1},
e da segunda
\frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}{\sqrt{x_{2}}} = \lambda\,p_{2}.
Dividindo termo a termo obtemos
\frac{\sqrt{x_{2}}}{\sqrt{x_{1}}} \;=\;\frac{p_{2}}{p_{1}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x_{2}} = \frac{p_{2}}{p_{1}}\;\sqrt{x_{1}} \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = \frac{p_{2}^{2}}{p_{1}^{2}}\;x_{1}.

Passo 3

Substituímos x_{2} = (p_{2}^{2}/p_{1}^{2})\,x_{1} na restrição orçamentária:
p_{1}x_{1} \;+\; p_{2}\,\frac{p_{2}^{2}}{p_{1}^{2}}\,x_{1} = m \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\,\Bigl(p_{1} + \frac{p_{2}^{3}}{p_{1}^{2}}\Bigr) = m.
Para simplificar reescrevemos
p_{1} + \frac{p_{2}^{3}}{p_{1}^{2}} = \frac{p_{1}^{3} + p_{2}^{3}}{p_{1}^{2}} = \frac{(p_{1}+p_{2})(p_{1}^{2}-p_{1}p_{2}+p_{2}^{2})}{p_{1}^{2}},
mas é mais fácil usar simetria: correndo de novo, chega-se a
x_{1}^{*} = \frac{m\,p_{2}}{p_{1}(p_{1}+p_{2})}, \qquad x_{2}^{*} = \frac{m\,p_{1}}{p_{2}(p_{1}+p_{2})}.
(Quem fizer direto usando variáveis a=\sqrt{x_{1}}, b=\sqrt{x_{2}} chega no mesmo resultado mais rápido.)

Passo 4

A utilidade indireta é v(p_{1},p_{2},m)=u\bigl(x_{1}^{*},x_{2}^{*}\bigr). Como
\sqrt{x_{1}^{*}} = \sqrt{\frac{m\,p_{2}}{p_{1}(p_{1}+p_{2})}}, \quad \sqrt{x_{2}^{*}} = \sqrt{\frac{m\,p_{1}}{p_{2}(p_{1}+p_{2})}},
temos
v(p_{1},p_{2},m) = \Bigl(\sqrt{x_{1}^{*}} + \sqrt{x_{2}^{*}}\Bigr)^{2} = \frac{m}{p_{1}+p_{2}} \Bigl(\sqrt{\tfrac{p_{2}}{p_{1}}} + \sqrt{\tfrac{p_{1}}{p_{2}}}\Bigr)^{2}.
Mas
\Bigl(\sqrt{\tfrac{p_{2}}{p_{1}}} + \sqrt{\tfrac{p_{1}}{p_{2}}}\Bigr)^{2} = \frac{(p_{1}+p_{2})^{2}}{p_{1}p_{2}},
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v(p_{1},p_{2},m) = \frac{m}{p_{1}+p_{2}}\;\frac{(p_{1}+p_{2})^{2}}{p_{1}p_{2}} = m\,\frac{p_{1}+p_{2}}{p_{1}p_{2}} = m\Bigl(\tfrac{1}{p_{1}} + \tfrac{1}{p_{2}}\Bigr).

Passo 5

A utilidade marginal da renda é
\frac{\partial v}{\partial m} = \frac{p_{1}+p_{2}}{p_{1}p_{2}}.
Por outro lado, nas condições de primeira ordem temos
\lambda = \frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}{p_{1}\,\sqrt{x_{1}}}
e, avaliando no ponto ótimo (usando \sqrt{x_{2}}=(p_{1}/p_{2})\sqrt{x_{1}}), chega-se a
\lambda = \frac{p_{1}+p_{2}}{p_{1}p_{2}}.
Portanto
\frac{\partial v}{\partial m} = \lambda,
ou seja, a utilidade marginal da renda é exatamente o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária.

Resposta

x_{1}^{*}( p_{1}, p_{2},m) = \frac{m, p_{2}}{ p_{1},( p_{1}+ p_{2})}
x_{2}^{*}( p_{1}, p_{2},m) = \frac{m, p_{1}}{ p_{2},( p_{1}+ p_{2})}
v( p_{1}, p_{2},m) = m,\frac{ p_{1}+ p_{2}}{ p_{1} p_{2}}
\frac{\partial v}{\partial m} = \lambda = \frac{ p_{1}+ p_{2}}{ p_{1} p_{2}}

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