(3,0 pontos) Imagine uma firma que atua em dois mercados distintos. A demanda inversa do produto dessa firma no mercado i=1,2 é dada por p_{i}\left(q_{i}\right)=A_{i} f\left(q_{i}\right), onde A_{i}>0 é um
parâmetro específico da demanda do i-ésimo mercado e q_{i} é a quantidade que a firma vende nesse mesmo mercado. Repare que f é comum aos dois mercados. A função custo da firma é dada por c(Q), onde Q \equiv q_{1}+q_{2}. Assuma que f e c são funções duas vezes continuamente diferenciáveis. Além disso, f^{\prime}\left(q_{i}\right)<0, c^{\prime}(Q)>0 e c^{\prime \prime}(Q) \geq 0. Assim, o objetivo da firma é escolher as quantidades q_{1}^{*} e q_{2}^{*} que maximizam o seu lucro, que é dado pela seguinte função:
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma.
(b) ( 1,0 ponto) Monte o hessiano da função objetivo e explique quais condições, se atendidas pelo hessiano, garantem que as quantidades que satisfazem as condições de primeira ordem do item (a) caracterizem um ponto de máximo global estrito.
(c) ( 1,0 ponto) Usando o teorema da função implícita e a regra de Cramer, encontre o impacto de um aumento marginal em A_{2} sobre q_{1}^{*} e q_{2}^{*}. Qual o sinal desse impacto? Explique.
Passo 1
O enunciado descreve uma firma que vende quantidades q_{1} e q_{2} em dois mercados com demandas inversas
Para resolver precisamos (a) obter as condições de primeira ordem (FOC), (b) montar o Hessiano e usar condições de negatividade para obter máximo estrito, e (c) aplicar o Teorema da Função Implícita e regra de Cramer para achar \partial q_{i}^{*}/\partial A_{2} e seus sinais.
é definido negativo se \pi_{11}<0 e \det H>0.
(c) \displaystyle\frac{\partial q_{1}^{*}}{\partial A_{2}}<0,\qquad \frac{\partial q_{2}^{*}}{\partial A_{2}}>0.]