1. (3,0 pontos) Imagine uma firma que atua em dois mercados distintos. A demanda inversa do produto dessa firma no mercado i=1,2 é dada por p_{i}\left(q_{i}\right)=A_{i} f\left(q_{i}\right), onde A_{i}>0 é um
    parâmetro específico da demanda do i-ésimo mercado e q_{i} é a quantidade que a firma vende nesse mesmo mercado. Repare que f é comum aos dois mercados. A função custo da firma é dada por c(Q), onde Q \equiv q_{1}+q_{2}. Assuma que f e c são funções duas vezes continuamente diferenciáveis. Além disso, f^{\prime}\left(q_{i}\right)<0, c^{\prime}(Q)>0 e c^{\prime \prime}(Q) \geq 0. Assim, o objetivo da firma é escolher as quantidades q_{1}^{*} e q_{2}^{*} que maximizam o seu lucro, que é dado pela seguinte função:
\pi\left(q_{1}, q_{2}\right)=A_{1} f\left(q_{1}\right) q_{1}+A_{2} f\left(q_{2}\right) q_{2}-c\left(q_{1}+q_{2}\right)
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma.
(b) ( 1,0 ponto) Monte o hessiano da função objetivo e explique quais condições, se atendidas pelo hessiano, garantem que as quantidades que satisfazem as condições de primeira ordem do item (a) caracterizem um ponto de máximo global estrito.
(c) ( 1,0 ponto) Usando o teorema da função implícita e a regra de Cramer, encontre o impacto de um aumento marginal em A_{2} sobre q_{1}^{*} e q_{2}^{*}. Qual o sinal desse impacto? Explique.

Passo 1

O enunciado descreve uma firma que vende quantidades q_{1} e q_{2} em dois mercados com demandas inversas
p_{i}(q_{i})=A_{i}\,f(q_{i}),\quad A_{i}>0,
e custo total c(Q) com Q=q_{1}+q_{2}. O lucro é
\pi(q_{1},q_{2})=A_{1}f(q_{1})q_{1}+A_{2}f(q_{2})q_{2}-c(q_{1}+q_{2}).
Para resolver precisamos (a) obter as condições de primeira ordem (FOC), (b) montar o Hessiano e usar condições de negatividade para obter máximo estrito, e (c) aplicar o Teorema da Função Implícita e regra de Cramer para achar \partial q_{i}^{*}/\partial A_{2} e seus sinais.

Passo 2

Para cada i=1,2 calculamos
\frac{\partial \pi}{\partial q_{i}} =A_{i}\bigl(f(q_{i})+q_{i}f'(q_{i})\bigr)\;-\;c'(q_{1}+q_{2})
e igualamos a zero. Assim as FOC são
A_{i}\bigl(f(q_{i})+q_{i}f'(q_{i})\bigr)=c'(q_{1}+q_{2}),\quad i=1,2.

Passo 3

O Hessiano H de \pi em (q_{1},q_{2}) é a matriz 2\times 2 cujos elementos são
\pi_{11} =A_{1}\bigl(2f'(q_{1})+q_{1}f''(q_{1})\bigr)-c''(Q), \quad \pi_{22} =A_{2}\bigl(2f'(q_{2})+q_{2}f''(q_{2})\bigr)-c''(Q),
\pi_{12}=\pi_{21}=-\,c''(Q).
Para que \pi seja estritamente côncava e o ponto satisfaça máximo global, H deve ser definida negativa, i.e.:
  1. \pi_{11}<0, e
  2. \det H=\pi_{11}\,\pi_{22}-\bigl(-c''(Q)\bigr)^{2}>0.

Passo 4

Definimos
F_{1}(q_{1},q_{2},A_{2}) =A_{1}\bigl(f(q_{1})+q_{1}f'(q_{1})\bigr)-c'(Q),
F_{2}(q_{1},q_{2},A_{2}) =A_{2}\bigl(f(q_{2})+q_{2}f'(q_{2})\bigr)-c'(Q)=0.
Pela Função Implícita e Cramer,
\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial q_{1}^{*}}{\partial A_{2}}\\[1.0em] \displaystyle\frac{\partial q_{2}^{*}}{\partial A_{2}} \end{pmatrix} =-\,H^{-1} \begin{pmatrix} 0\\[0.3em] f(q_{2})+q_{2}f'(q_{2}) \end{pmatrix}.
Usando as menores de Cramer obtém-se
\frac{\partial q_{1}^{*}}{\partial A_{2}} =\frac{(f(q_{2})+q_{2}f'(q_{2}))\,\bigl(-c''(Q)\bigr)}{\det H} <0,
\frac{\partial q_{2}^{*}}{\partial A_{2}} =\frac{(f(q_{2})+q_{2}f'(q_{2}))\,\pi_{11}}{\det H} >0,
pois f+qf'>0 (igualação a custo marginal positivo), c''\ge0, \pi_{11}<0 e \det H>0.]

Resposta

(a) \displaystyle A_{i}\bigl(f(q_{i})+q_{i}f'(q_{i})\bigr)=c'(q_{1}+q_{2}),\;i=1,2.
(b)
H=\begin{pmatrix} A_{1}[2f'(q_{1})+q_{1}f''(q_{1})]-c''(Q)& -c''(Q)\\[0.5em] -c''(Q)&A_{2}[2f'(q_{2})+q_{2}f''(q_{2})]-c''(Q) \end{pmatrix},
é definido negativo se \pi_{11}<0 e \det H>0.
(c) \displaystyle\frac{\partial q_{1}^{*}}{\partial A_{2}}<0,\qquad \frac{\partial q_{2}^{*}}{\partial A_{2}}>0.]

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