1. (2,0 pontos) Considere o modelo IS-LM abaixo:
  • Equilíbrio no mercado de bens e serviços: Y=C+I+G;
  • Consumo: C=\alpha+\beta(Y-T+T r)-\gamma i, 0<\beta<1;
  • Tributação: T=\eta Y, 0<\eta<1;
  • Transferências: \operatorname{Tr}=\theta Y, 0<\theta<\eta;
  • Investimento: I=\mu Y-\varphi i;
  • Equilíbrio no mercado monetário: M^{s}=\rho Y-\lambda i;
  • Todos os parâmetros são estritamente positivos.
    (a) ( 1,0 ponto) Use a regra de Cramer para encontrar o produto, Y^{*}, e a taxa de juros, i^{*}, que equilibram a economia.
    (b) ( 0,5 ponto) Mostre como um aumento em M^{s} impacta Y^{*} e i^{*}.
    (c) (0,5 ponto ) Mostre como um aumento em \theta impacta Y^{*} e i^{*}.
  1. ( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2 . Suponha que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2},
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de substitutibilidade
entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m .
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
\frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}}<0, \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}, m\right)}{\partial p_{1}^{2}}<0 \text { e } \frac{\partial f\left(p_{1}, m\right)}{\partial m}>0 .
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) ( 1,5 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?

Passo 1

Estamos diante de um modelo IS–LM, em que:
– equilíbrio no mercado de bens: Y=C+I+G;
– consumo C=\alpha+\beta(Y-T+Tr)-\gamma i, com T=\eta Y e Tr=\theta Y;
– investimento I=\mu Y-\varphi i;
– equilíbrio no mercado de dinheiro: M^s=\rho Y-\lambda i.
O objetivo é (2a) encontrar (Y^*,i^*) via regra de Cramer, (2b) ver como M^s afeta (Y^*,i^*) e (2c) como \theta afeta (Y^*,i^*).

Passo 2

Montamos as duas equações lineares em Y e i.
Do mercado de bens, substituindo C e I em Y=C+I+G:
Y \;=\;\alpha+\beta\bigl((1-\eta+\theta)Y\bigr)-\gamma i\;+\;\mu Y-\varphi i\;+\;G
reagrupando:
\underbrace{\bigl[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]}_{A}\,Y \;+\; \underbrace{\bigl(\gamma+\varphi\bigr)}_{B}\,i \;=\;\alpha+G.
Do mercado de dinheiro:
M^s=\rho Y-\lambda i \quad\Longrightarrow\quad \rho Y-\lambda i=M^s.

Passo 3

Aplicamos regra de Cramer ao sistema
\begin{cases} A Y + B\,i = \alpha+G,\\\ \rho\,Y - \lambda\,i = M^s, \end{cases}
com A=1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu e B=\gamma+\varphi.
O determinante comum é
\Delta =\det\begin{pmatrix}A&B\\rho&-\lambda\end{pmatrix} =-\bigl(A\lambda+B\rho\bigr).
Calculando \Delta_Y e \Delta_i e dividindo por \Delta, obtemos
Y^* =\frac{\lambda(\alpha+G)+B\,M^s}{A\lambda+B\rho}, \qquad i^* =\frac{\rho(\alpha+G)-A\,M^s}{A\lambda+B\rho}.

Passo 4

Derivando em função de M^s:
\frac{\partial Y^*}{\partial M^s} =\frac{B}{\,A\lambda+B\rho\,}>0, \qquad \frac{\partial i^*}{\partial M^s} =-\frac{A}{\,A\lambda+B\rho\,}<0.
Logo, aumento em M^s eleva Y^* e reduz i^*.

Passo 5

Como A=1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu, temos \partial A/\partial\theta=-\beta.
Usando regra do quociente em Y^* e i^*, mostra‐se após simplificar que
\frac{\partial Y^*}{\partial\theta} >0, \qquad \frac{\partial i^*}{\partial\theta} >0.
Ou seja, maior \theta (mais transferências) eleva simultaneamente Y^* e i^*.

Passo 6

Para a firma 1, \pi(p_1,m)=\bigl(p_1-c\bigr)\bigl[f(p_1,m)+b\,p_2\bigr]-m.
As condições de primeira ordem (solução interior) são
\frac{\partial\pi}{\partial p_1} =f(p_1,m)+b\,p_2+(p_1-c)\,f_{p_1}(p_1,m)=0,
\frac{\partial\pi}{\partial m} =(p_1-c)\,f_{m}(p_1,m)-1=0.
Como f_m>0, da segunda condição vem p_1-c>0. E da primeira segue
q_1=f(p_1,m)+b\,p_2>0.

Passo 7

O Hessiano de \pi em (p_1^*,m^*) deve ser definido negativo.
Isso exige
\pi_{p_1p_1} =2\,f_{p_1}+(p_1-c)\,f_{p_1p_1}<0, \quad \pi_{m m} =(p_1-c)\,f_{m m}<0,
e o determinante
\pi_{p_1p_1}\,\pi_{mm} -\bigl[\pi_{p_1m}\bigr]^{2} >0.
Em particular, como p_1-c>0, precisamos de
f_{mm}(p_1^*,m^*)<0.

Resposta

(2a)
Y^*=\frac{\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)\,M^s} {[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu]\,\lambda+(\gamma+\varphi)\,\rho}, \quad i^*=\frac{\rho(\alpha+G)-[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu]\,M^s} {[1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu]\,\lambda+(\gamma+\varphi)\,\rho}.
(2b) \displaystyle\partial Y^*/\partial M^s=(\gamma+\varphi)/(A\lambda+B\rho)>0, \displaystyle\partial i^*/\partial M^s=-A/(A\lambda+B\rho)<0. (2c) \displaystyle\partial Y^*/\partial\theta>0, \displaystyle\partial i^*/\partial\theta>0. (3a)
\frac{\partial\pi}{\partial p_1} =f(p_1,m)+b\,p_2+(p_1-c)\,f_{p_1}=0, \quad \frac{\partial\pi}{\partial m} =(p_1-c)\,f_{m}-1=0.
Dessas, p_1^*-c>0 e q_1(p_1^*,m^*,p_2)=f(p_1^*,m^*)+b\,p_2>0. (3b)
Hessiano negativo‐definido exige \pi_{p_1p_1}<0,\\ \pi_{mm}<0 e \det H>0. Em especial
f_{mm}(p_1^*,m^*)<0
deve valer para máximo estrito.

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