Equilíbrio no mercado de bens e serviços: Y=C+I+G;
Consumo: C=\alpha+\beta(Y-T+T r)-\gamma i, 0<\beta<1;
Tributação: T=\eta Y, 0<\eta<1;
Transferências: \operatorname{Tr}=\theta Y, 0<\theta<\eta;
Investimento: I=\mu Y-\varphi i;
Equilíbrio no mercado monetário: M^{s}=\rho Y-\lambda i;
Todos os parâmetros são estritamente positivos.
(a) ( 1,0 ponto) Use a regra de Cramer para encontrar o produto, Y^{*}, e a taxa de juros, i^{*}, que equilibram a economia.
(b) ( 0,5 ponto) Mostre como um aumento em M^{s} impacta Y^{*} e i^{*}.
(c) (0,5 ponto ) Mostre como um aumento em \theta impacta Y^{*} e i^{*}.
( 3,0 pontos) Considere um mercado com duas firmas: 1 e 2 . Suponha que a demanda pelo bem produzido pela firma 1 seja dada por
q_{1}\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2},
onde q_{1} é a quantidade demandada pelo bem da firma 1, p_{1} é o preço cobrado pela firma 1, m é o gasto com marketing da firma 1 e p_{2}>0 é o preço do bem produzido pela firma 2 . A função f é duas vezes continuamente diferenciável e o coeficiente b>0 mede o grau de substitutibilidade
entre os bens das duas firmas. O custo da firma 1 é dado por c\left(q_{1}, m\right)=c q_{1}+m, onde c>0. Assim, o lucro da firma 1 é
\pi\left(p_{1}, m, p_{2}\right)=\left(p_{1}-c\right)\left[f\left(p_{1}, m\right)+b p_{2}\right]-m .
A firma 1 escolhe o seu preço, p_{1}, e o seu gasto com marketing, m, de forma a maximizar o seu lucro. Admita que
Com base nessas informações, responda os itens a seguir.
(a) ( 1,5 ponto) Assumindo solução interior, p_{1}^{*}>0 e m^{*}>0, encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma 1 . Com base no que você encontrou, determine o sinal (positivo ou negativo) de p_{1}^{*}-c e de q_{1}\left(p_{1}^{*}, m^{*}, p_{2}\right).
(b) ( 1,5 ponto) Encontre as condições suficientes de segunda ordem para que ( p_{1}^{*}, m^{*} ) que resolve o item anterior constitua um ponto de máximo local estrito. Qual condição deve ser imposta sobre \frac{\partial^{2} f\left(p_{1}^{*}, m^{*}\right)}{\partial m^{2}} ?
Passo 1
Estamos diante de um modelo IS–LM, em que:
– equilíbrio no mercado de bens: Y=C+I+G;
– consumo C=\alpha+\beta(Y-T+Tr)-\gamma i, com T=\eta Y e Tr=\theta Y;
– investimento I=\mu Y-\varphi i;
– equilíbrio no mercado de dinheiro: M^s=\rho Y-\lambda i.
O objetivo é (2a) encontrar (Y^*,i^*) via regra de Cramer, (2b) ver como M^s afeta (Y^*,i^*) e (2c) como \theta afeta (Y^*,i^*).
Passo 2
Montamos as duas equações lineares em Y e i.
Do mercado de bens, substituindo C e I em Y=C+I+G:
Y \;=\;\alpha+\beta\bigl((1-\eta+\theta)Y\bigr)-\gamma i\;+\;\mu Y-\varphi i\;+\;G
Dessas, p_1^*-c>0 e q_1(p_1^*,m^*,p_2)=f(p_1^*,m^*)+b\,p_2>0. (3b)
Hessiano negativo‐definido exige \pi_{p_1p_1}<0,\\ \pi_{mm}<0 e \det H>0. Em especial