(2,5 pontos) Considere a curva gamma:[0,1] R^2 parametrizada por gamma(t)=(t, t^2) e o campo vetorial F(x, y)=y^3 i+(4 e^y+3 y^2 x) j, para todo (x, y) in R^2.
Calcule integralgamma F d gamma.

Passo 1

O enunciado dá a curva
gamma:[0,1]toR^2 com gamma(t)=(t,t^2) e o campo vetorial
vec F(x,y)=y^3,vec i+l(4e^y+3y^2xr),vec j.
Pede-se o integral de linha
integralgammavec Fcdot dgamma.
O conteúdo envolve identificar se vec F é conservativo, encontrar uma função potencial phi e aplicar o Teorema Fundamental para campos vetoriais.

Passo 2

Verificamos se vec F é conservativo, ou seja, se
partialpartial y(y^3)=3y^2, partialpartial xl(4e^y+3y^2xr)=3y^2
Como ambas derivadas são iguais em R^2, existe potencial phi tal que
phix=y^3 e phiy=4e^y+3y^2x.
Integramos phix=y^3 em x:
phi(x,y)=xy^3+h(y)
Então
phiy=3xy^2+h'(y) overset!=4e^y+3y^2x ;Longrightarrow; h'(y)=4e^y ;Longrightarrow; h(y)=4e^y
Logo
phi(x,y)=x,y^3+4e^y
é a função potencial de vec F.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
integralgammavec Fcdot dgamma =phil(gamma(1)r)-phil(gamma(0)r) =phi(1,1)-phi(0,0)
Calculamos
phi(1,1)=1cdot1^3+4e^1=1+4e, phi(0,0)=0cdot0^3+4e^0=4,
portanto
integralgammavec Fcdot dgamma =(1+4e)-4 =4e-3

Resposta

4e-3

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