De quantas manciras podemos distribuir 8 maçās, 10 peras e 7 laranjas em quatro caixas, se cada caixa deve receber ao menos uma fruta?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de colocar 8 maçãs idênticas, 10 peras idênticas e 7 laranjas idênticas em 4 caixas distintas, de modo que cada caixa receba ao menos uma fruta (de qualquer tipo). O conteúdo que vamos usar é a técnica de “estrelinhas e barras” para distribuir objetos idênticos em caixas distintas e depois aplicar o princípio da inclusão-exclusão para garantir que nenhuma caixa fique vazia.
Passo 2
Primeiro contamos as distribuições sem restrição de não-vazio. Para as maçãs, estamos resolvendo
cujo número de soluções é
Analogamente, para as peras:
e para as laranjas:
Passo 3
Como as escolhas para cada fruta são independentes, o total sem a condição de “cada caixa não vazia” é
Passo 4
Agora usamos inclusão-exclusão para eliminar as distribuições onde alguma caixa fica vazia. Seja
o conjunto de distribuições em que a caixa
fica vazia. Primeiro, para uma caixa fixa vazia (digamos a caixa
), distribuímos as frutas nas outras 3 caixas. Para maçãs:
para peras:
para laranjas:
Logo
e há 4 escolhas de
, então
Passo 5
Para duas caixas vazias (escolhidas de
em
formas), distribuímos em 2 caixas:
Multiplicando pelas 6 escolhas de duas caixas vazias:
Passo 6
Para três caixas vazias (
formas), sobra apenas uma caixa para todas as frutas, e há exatamente 1 jeito de colocar todas as maçãs, peras e laranjas nessa única caixa. Assim
Passo 7
Pela inclusão-exclusão, o total desejado é
Resposta
O número de distribuições é
.