De quantas manciras podemos distribuir 8 maçās, 10 peras e 7 laranjas em quatro caixas, se cada caixa deve receber ao menos uma fruta?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de colocar 8 maçãs idênticas, 10 peras idênticas e 7 laranjas idênticas em 4 caixas distintas, de modo que cada caixa receba ao menos uma fruta (de qualquer tipo). O conteúdo que vamos usar é a técnica de “estrelinhas e barras” para distribuir objetos idênticos em caixas distintas e depois aplicar o princípio da inclusão-exclusão para garantir que nenhuma caixa fique vazia.

Passo 2

Primeiro contamos as distribuições sem restrição de não-vazio. Para as maçãs, estamos resolvendo
x1 + x2 + x3 + x4 = 8, xi>= 0,
cujo número de soluções é
binom8 + 4 - 14 - 1 = binom113 = 165
Analogamente, para as peras:
binom10 + 4 - 14 - 1 = binom133 = 286,
e para as laranjas:
binom7 + 4 - 14 - 1 = binom103 = 120

Passo 3

Como as escolhas para cada fruta são independentes, o total sem a condição de “cada caixa não vazia” é
T = 165 times 286 times 120 = 5,662,800

Passo 4

Agora usamos inclusão-exclusão para eliminar as distribuições onde alguma caixa fica vazia. Seja Ai o conjunto de distribuições em que a caixa i fica vazia. Primeiro, para uma caixa fixa vazia (digamos a caixa i), distribuímos as frutas nas outras 3 caixas. Para maçãs:
binom8 + 3 - 13 - 1 = binom102 = 45,
para peras:
binom10 + 3 - 13 - 1 = binom122 = 66,
para laranjas:
binom7 + 3 - 13 - 1 = binom92 = 36
Logo
|Ai| = 45 times 66 times 36 = 106,920,
e há 4 escolhas de i, então
sum |Ai| = 4 times 106,920 = 427,680

Passo 5

Para duas caixas vazias (escolhidas de 1,2,3,4 em binom42=6 formas), distribuímos em 2 caixas:
binom8+2-12-1times binom10+2-12-1times binom7+2-12-1 = 9 times 11 times 8 = 792
Multiplicando pelas 6 escolhas de duas caixas vazias:
sum |Aicap Aj| = 6 times 792 = 4,752

Passo 6

Para três caixas vazias ( binom43=4 formas), sobra apenas uma caixa para todas as frutas, e há exatamente 1 jeito de colocar todas as maçãs, peras e laranjas nessa única caixa. Assim
sum |Aicap Ajcap Ak| = 4 times 1 = 4

Passo 7

Pela inclusão-exclusão, o total desejado é
T - sum |Ai| + sum |Aicap Aj| - sum |Aicap Ajcap Ak| = 5,662,800 - 427,680 + 4,752 - 4 = 5,239,868

Resposta

O número de distribuições é 5,239,868.

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