Determine se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente. Use qualquer teste que pareça mais apropriado para justificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty 2^sin ne^n
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência para séries de termos positivos, em particular comparação com séries geométricas ou o teste da raiz.

Passo 2

Observamos que para todo inteiro n vale
-1 <= sin n <= 1
logo
2^-1 <= 2^sin n <= 2^1,
e portanto os termos da nossa série satisfazem
0 <= 2^sin ne^n <= 2e^n

Passo 3

A série
sumn=1^infty 2e^n
é geométrica de razão 1e<1, logo converge. Pelo teste da comparação, como
0 <= 2^sin ne^n <= 2e^n
e a série majorante converge, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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