(4 pontos) Considere a EDO linear de primeira ordem abaixo
y^{\prime}-3 y=2 e^{x}
(a) Essa EDO pode ser resolvida usando o método do fator integrante. Nesse método, a ideia é multiplicar ambos os lados da equação por uma função apropriada \mu(x) (chamada fator integrante) de modo que o lado esquerdo da equação se torne a derivada do produto de \mu(x) \cdot y(x). Encontre o fator integrante \mu(x).
(b) Com o fator integrante em mãos, podemos reescrever a EDO como
\frac{d}{d x}(\mu(x) \cdot y(x))=2 e^{x}
A partir disso, qual seria o passo a passo para encontrar a solução?
(c) Aplicando o passo a passo ilustrado no ítem (b) encontre a solução geral da EDO.
(d) Se impomos uma restrição adicional do tipo y\left(x_{0}\right)=y_{0}, dizemos que estamos trabalhando com um Problema de valor inicial (PVI). O que seria uma solução do PVI? Encontre a solução do PVI
\frac{d y}{d x}-3 y=2 e^{x}, \quad \text { sujeito a } \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}-3y=2e^{x},
e pede quatro coisas separadas:
(a) Encontrar o fator integrante \mu(x) usado no método do fator integrante.
(b) Dizer, a partir do fator integrante, qual é o passo a passo para obter a solução (ou seja, descrever as operações que devemos fazer após encontrar \mu(x)).
(c) Aplicar esse passo a passo e encontrar a solução geral da EDO.
(d) Explicar o que é uma solução de um problema de valor inicial (PVI) e, para o PVI dado com condição y(0)=2, encontrar a solução particular que satisfaça essa condição.
Informações relevantes dadas:
\text{EDO: }\frac{dy}{dx}-3y=2e^{x},
condição do PVI (apenas no item d):
y(0)=2.

Passo 2

Por que usamos um fator integrante e como ele é encontrado — explicação didática e sem pular etapas.
Queremos transformar a EDO numa forma em que o lado esquerdo seja a derivada de um produto \mu(x)\cdot y(x). Escrevendo a EDO na forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
o objetivo é achar \mu(x) tal que
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Calculando a derivada do produto aparece
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu'\,y.
Para que isso seja igual a \mu\frac{dy}{dx}+\mu P y precisamos de
\mu' = \mu P.
Dividindo por \mu (assumindo \mu\neq0) obtemos
\frac{\mu'}{\mu}=P.
Integrando ambos os lados em relação a x,
\ln(\mu)=\int P(x)\,dx + C.
Podemos escolher a constante C=0 (uma constante multiplicativa em \mu só altera a constante final da solução), então
\mu(x)=\exp\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Resumo: para qualquer EDO linear de 1ª ordem escrevemos P(x), calculamos \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}, multiplicamos a EDO por \mu, reconhecemos o lado esquerdo como \frac{d}{dx}(\mu y), e integramos ambos os lados para encontrar y.

Passo 3

Aplicando a teoria ao nosso caso.
Na EDO dada \frac{dy}{dx}-3y=2e^{x} corresponde
P(x)=-3.
Logo o fator integrante é
\mu(x)=\exp\Big(\int -3\,dx\Big)=\exp(-3x)=e^{-3x}.
Observação: poderíamos multiplicar \mu por qualquer constante não nula e manter a validade; escolhemos e^{-3x} por simplicidade.

Passo 4

Multiplicamos a EDO por \mu(x)=e^{-3x} e verificamos que o lado esquerdo vira a derivada do produto.
Multiplicando:
e^{-3x}\frac{dy}{dx}-3e^{-3x}y = 2e^{x}e^{-3x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big)=e^{-3x}\frac{dy}{dx}+(-3e^{-3x})y = e^{-3x}\frac{dy}{dx}-3e^{-3x}y.
No lado direito simplificamos os expoentes:
2e^{x}e^{-3x}=2e^{-2x}.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big)=2e^{-2x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados para isolar y.
Integrando em x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-3x}y\big)\,dx = \int 2e^{-2x}\,dx.
O lado esquerdo dá imediatamente
e^{-3x}y.
No lado direito calculamos a integral:
\int 2e^{-2x}\,dx = 2\int e^{-2x}\,dx = 2\cdot\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)+C = -e^{-2x}+C,
onde C é a constante de integração.
Assim obtemos
e^{-3x}y = -e^{-2x}+C.

Passo 6

Isolando y e escrevendo a solução geral.
Multiplicando ambos os lados por e^{3x}:
y = -e^{3x}e^{-2x}+C e^{3x} = -e^{x}+C e^{3x}.
Portanto a solução geral da EDO é
y(x)=C e^{3x}-e^{x},
onde C\in\mathbb{R} (constante arbitrária). Para aumentar a confiança, você pode verificar derivando: y'=-e^{x}+3C e^{3x} e então y'-3y = (-e^{x}+3C e^{3x})-3(C e^{3x}-e^{x})=2e^{x}, como deve ser.

Passo 7

O que é uma solução do PVI e aplicação ao caso y(0)=2.
Definição prática e intuitiva: uma solução do problema de valor inicial (PVI) é uma função y(x) definida num intervalo que contém x_{0} tal que (i) y satisfaz a EDO para todo x desse intervalo e (ii) y(x_{0})=y_{0} (a condição inicial). Para equações lineares com coeficientes contínuos existe unicidade da solução do PVI (teorema de existência e unicidade), então ao aplicar a condição inicial fixamos a constante arbitrária e obtemos a solução única que satisfaz a condição.
No nosso caso substituímos x=0 e y(0)=2 na solução geral
y(0)=C e^{0}-e^{0}=C-1.
Impondo C-1=2 obtemos C=3. Logo a solução particular que satisfaz o PVI é
y(x)=3e^{3x}-e^{x}.

Resposta

(a) \mu(x)=e^{-3x}
(b) Multiplicar a EDO por \mu(x), reconhecer o lado esquerdo como \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big), integrar ambos os lados em x e, por fim, isolar y(x) (usar a constante de integração).
(c) y(x)=C e^{3x}-e^{x}
(d) Solução do PVI: função que satisfaz a EDO e a condição inicial ao mesmo tempo. Para y(0)=2: y(x)=3e^{3x}-e^{x}

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