(4 pontos) Considere a EDO linear de primeira ordem abaixo
(a) Essa EDO pode ser resolvida usando o método do fator integrante. Nesse método, a ideia é multiplicar ambos os lados da equação por uma função apropriada
(chamada fator integrante) de modo que o lado esquerdo da equação se torne a derivada do produto de
. Encontre o fator integrante
.
(b) Com o fator integrante em mãos, podemos reescrever a EDO como
A partir disso, qual seria o passo a passo para encontrar a solução?
(c) Aplicando o passo a passo ilustrado no ítem (b) encontre a solução geral da EDO.
(d) Se impomos uma restrição adicional do tipo
, dizemos que estamos trabalhando com um Problema de valor inicial (PVI). O que seria uma solução do PVI? Encontre a solução do PVI
(b) Com o fator integrante em mãos, podemos reescrever a EDO como
(c) Aplicando o passo a passo ilustrado no ítem (b) encontre a solução geral da EDO.
(d) Se impomos uma restrição adicional do tipo
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária (EDO) linear de primeira ordem
e pede quatro coisas separadas:
(a) Encontrar o fator integrante usado no método do fator integrante.
(b) Dizer, a partir do fator integrante, qual é o passo a passo para obter a solução (ou seja, descrever as operações que devemos fazer após encontrar ).
(c) Aplicar esse passo a passo e encontrar a solução geral da EDO.
(d) Explicar o que é uma solução de um problema de valor inicial (PVI) e, para o PVI dado com condição , encontrar a solução particular que satisfaça essa condição.
(a) Encontrar o fator integrante
(b) Dizer, a partir do fator integrante, qual é o passo a passo para obter a solução (ou seja, descrever as operações que devemos fazer após encontrar
(c) Aplicar esse passo a passo e encontrar a solução geral da EDO.
(d) Explicar o que é uma solução de um problema de valor inicial (PVI) e, para o PVI dado com condição
Informações relevantes dadas:
condição do PVI (apenas no item d):
Passo 2
Por que usamos um fator integrante e como ele é encontrado — explicação didática e sem pular etapas.
Queremos transformar a EDO numa forma em que o lado esquerdo seja a derivada de um produto
. Escrevendo a EDO na forma padrão
o objetivo é achar
tal que
Calculando a derivada do produto aparece
Para que isso seja igual a
precisamos de
Dividindo por
(assumindo
) obtemos
Integrando ambos os lados em relação a
,
Podemos escolher a constante
(uma constante multiplicativa em
só altera a constante final da solução), então
Resumo: para qualquer EDO linear de 1ª ordem escrevemos
, calculamos
, multiplicamos a EDO por
, reconhecemos o lado esquerdo como
, e integramos ambos os lados para encontrar
.
Passo 3
Aplicando a teoria ao nosso caso.
Na EDO dada
corresponde
Logo o fator integrante é
Observação: poderíamos multiplicar
por qualquer constante não nula e manter a validade; escolhemos
por simplicidade.
Passo 4
Multiplicamos a EDO por
e verificamos que o lado esquerdo vira a derivada do produto.
Multiplicando:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
No lado direito simplificamos os expoentes:
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados para isolar
.
Integrando em
:
O lado esquerdo dá imediatamente
No lado direito calculamos a integral:
onde
é a constante de integração.
Assim obtemos
Passo 6
Isolando
e escrevendo a solução geral.
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto a solução geral da EDO é
onde
(constante arbitrária). Para aumentar a confiança, você pode verificar derivando:
e então
, como deve ser.
Passo 7
O que é uma solução do PVI e aplicação ao caso
.
Definição prática e intuitiva: uma solução do problema de valor inicial (PVI) é uma função
definida num intervalo que contém
tal que (i)
satisfaz a EDO para todo
desse intervalo e (ii)
(a condição inicial). Para equações lineares com coeficientes contínuos existe unicidade da solução do PVI (teorema de existência e unicidade), então ao aplicar a condição inicial fixamos a constante arbitrária e obtemos a solução única que satisfaz a condição.
No nosso caso substituímos
e
na solução geral
Impondo
obtemos
. Logo a solução particular que satisfaz o PVI é
Resposta
(a)
(b) Multiplicar a EDO por
, reconhecer o lado esquerdo como
, integrar ambos os lados em
e, por fim, isolar
(usar a constante de integração).
(c)
(d) Solução do PVI: função que satisfaz a EDO e a condição inicial ao mesmo tempo. Para
: