(3 pontos) (a) Uma EDO de primeira ordem é dita separável quando pode ser escrita na forma
M(x)+N(y) \frac{d y}{d x}=0
Informalmente, isso equivale a podemos “separar” com o sinal de igualdade tudo que tem x de tudo que tem y. A equação
y^{\prime}=\frac{x^{2}}{2 y}
é separável? Se sim, quem seria M(x) e quem seria N(y) ?
(b) Quando dispomos de uma equação separável e existem primitivas H_{1}(x) e H_{2}(y) de M e N, respectivamente, podemos reescrever a equação como
\frac{d}{d x}\left(H_{1}(x)+H_{2}(y)\right)=0 .
Justifique isso e depois diga como usar essa reescrita para encontrar a solução geral de uma EDO separável qualquer.
(c) Resolva o PVI que consiste da EDO do ítem (a) sujeito à restrição y(0)=1.

Passo 1

Enunciado e dados — o que o problema pede e quais informações nos deu:
  • (a) Pergunta se a EDO y'=\frac{x^{2}}{2y}
é separável. Se for, identificar funções \,M(x)\, e \,N(y)\, tais que a equação possa ser escrita na forma
M(x)+N(y)\frac{dy}{dx}=0.
  • (b) Dado que temos uma EDO separável e que existem primitivas \,H_{1}(x)\, de M(x) e \,H_{2}(y)\, de N(y), justificar por que se pode escrever
\frac{d}{dx}\bigl(H_{1}(x)+H_{2}(y)\bigr)=0
e explicar como usar isso para obter a solução geral de uma EDO separável qualquer.
  • (c) Resolver o problema de valor inicial (PVI) formado pela EDO do item (a) com a condição inicial \,y(0)=1.
Todos os dados relevantes estão acima: a equação, a forma exigida para separabilidade, a existência de primitivas em (b) e a condição inicial em (c). A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Decidir se a equação é separável e encontrar M(x) e N(y).
  • Começo por escrever a equação dada:
y'=\frac{x^{2}}{2y}.
  • A ideia de separável é poder escrever algo do tipo \,M(x)+N(y)\,y'=0. Reescrevo a equação para essa forma: trago tudo para o lado esquerdo,
-y' + \left(-\frac{x^{2}}{2y}\right) = 0,
mas isso está confuso; em vez disso, multiplico ambos os lados por y e reorganizo para identificar M e N. Multiplicando por y
y\,y' = \frac{x^{2}}{2}.
Agora escrevo isso como
-\frac{x^{2}}{2} + y\,y' = 0.
Comparando com \,M(x)+N(y)\,y'=0, vemos uma escolha natural:
M(x) = -\frac{x^{2}}{2},\qquad N(y)=y.
  • Observação importante (didática): essa não é a única escolha possível — por exemplo M(x)=-x^{2} e N(y)=2y também funcionariam — mas a escolha acima é simples e direta. Portanto, a equação é separável e uma escolha válida é \,M(x)=-\dfrac{x^{2}}{2}\, e \,N(y)=y.

Passo 3

Explicar didaticamente por que, se H_{1}'(x)=M(x) e H_{2}'(y)=N(y), então \dfrac{d}{dx}\bigl(H_{1}(x)+H_{2}(y)\bigr)=0.
  • Primeiro, o que significa primitiva: dizer que H_{1} é primitiva de M significa que, por definição,
H_{1}'(x)=M(x)\quad\text{para todo }x,
e dizer que H_{2} é primitiva de N significa
\frac{d}{dy}H_{2}(y)=N(y)\quad\text{para todo }y.
  • Agora aplicamos a regra da cadeia (chain rule) para derivar em relação a x a função composta H_{2}(y(x)). A regra da cadeia diz: se H_{2} é função de y e y é função de x, então
\frac{d}{dx}H_{2}(y(x))=H_{2}'(y)\cdot\frac{dy}{dx}.
  • Portanto, derivando H_{1}(x)+H_{2}(y(x)) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(H_{1}(x)+H_{2}(y(x))\bigr)=H_{1}'(x)+H_{2}'(y)\cdot\frac{dy}{dx}=M(x)+N(y)\frac{dy}{dx}.
  • Se a EDO é exatamente M(x)+N(y)\dfrac{dy}{dx}=0, então o lado direito acima vale zero. Concluímos:
\frac{d}{dx}\bigl(H_{1}(x)+H_{2}(y(x))\bigr)=0.
  • Interpretação: a derivada em relação a x de H_{1}(x)+H_{2}(y) é zero, então essa soma é constante em qualquer intervalo onde a solução é definida:
H_{1}(x)+H_{2}(y)=C,
com C constante. Isso é a forma implícita da solução geral de uma EDO separável.

Passo 4

Como usar essa reescrita para resolver qualquer EDO separável — passo a passo prático (método que você deve aplicar na prova).
  • Passo prático 1 (separar as variáveis): escreva a EDO em forma \dfrac{dy}{dx}=f(x)\,g(y) ou identifique M(x)+N(y)\dfrac{dy}{dx}=0. Se estiver na forma M(x)+N(y)\dfrac{dy}{dx}=0, podemos ver a equivalência com
N(y)\frac{dy}{dx}=-M(x).
  • Passo prático 2 (colocar todos os termos em lados distintos): rearranje para obter \dfrac{1}{N(y)}\,dy = -\dfrac{1}{M(x)}\,dx ou, mais usualmente, para \dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx. A ideia é isolar y-dependência no lado dy e x-dependência no lado dx.
  • Passo prático 3 (integrar): calcule as primitivas de cada lado. Ou seja, se você tem \dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx, então integre:
\int \frac{1}{g(y)}\,dy = \int f(x)\,dx + C.
  • Passo prático 4 (resolver a equação implícita): obtém-se uma equação do tipo H_{1}(x)+H_{2}(y)=C. Se possível, isole y explicitamente resolvendo H_{2}(y)=C-H_{1}(x). Às vezes isso exige inverter H_{2}; se a inversa existir (ou for expressável), teremos y=\text{(função explícita de }x)çãí. Se não for possível algebricamente, a solução permanece na forma implícita.
  • Passo prático 5 (condição inicial): para um PVI, use a condição inicial para determinar C. Escolha o ramo (quando houver sinais ±) que satisfaça a condição inicial e verifique o domínio de definição (por exemplo, evitar raízes quadradas negativas, divisões por zero, etc.).
  • Exemplo rápido (ilustrativo): se \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y), então \dfrac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx. Integrando, obtemos \int \dfrac{1}{g(y)}\,dy = \int f(x)\,dx + C. Isto é exatamente o conteúdo de transformar a equação em H_{1}(x)+H_{2}(y)=C.

Passo 5

Aplicar o método ao PVI do item (c): resolver \,y'=\dfrac{x^{2}}{2y} com \,y(0)=1.
  • Começo separando variáveis. A equação é
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{2y}.
Multiplico ambos os lados por 2y\,dx para colocar os y com dy e os x com dx:
2y\,dy = x^{2}\,dx.
  • Agora integro ambos os lados (primitivas). Integro o lado esquerdo em relação a y e o direito em relação a x:
\int 2y\,dy = \int x^{2}\,dx.
Calculo as integrais explicitamente:
\int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2},
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração que aparece ao integrar o lado direito (poderíamos colocar a constante num dos lados; aqui fica à direita).
  • Então obtemos a relação implícita
y^{2}=\frac{x^{3}}{3}+C.
  • Uso a condição inicial \,y(0)=1: substituo x=0 e y=1 para achar C:
1^{2} = \frac{0^{3}}{3} + C \quad\Rightarrow\quad C=1.
  • Logo a solução implícita determinada pelo PVI é
y^{2}=\frac{x^{3}}{3}+1.
  • Para obter a solução explícita, tomo raiz quadrada. Há duas raízes possíveis, positiva e negativa:
y(x)=\pm\sqrt{\frac{x^{3}}{3}+1}.
A condição inicial y(0)=1 seleciona o sinal positivo (pois \sqrt{1}=1 dá a condição correta), então a solução do PVI é
y(x)=\sqrt{\frac{x^{3}}{3}+1}.
  • Observação sobre domínio: para que y seja real devemos ter \dfrac{x^{3}}{3}+1\ge 0, isto é x^{3}\ge -3, ou seja x\ge -\sqrt[3]{3}. Em particular, existe um intervalo ao redor de x=0 onde a solução é bem definida e contínua; no PVI geralmente nos interessa a solução que contém x=0, e aí escolhemos a raiz positiva.

Resposta

(a) Sim. Por exemplo M(x)=-\dfrac{x^{2}}{2} e N(y)=y.
(b) Porque, se H_{1}'(x)=M(x) e H_{2}'(y)=N(y), então pela regra da cadeia
\frac{d}{dx}\bigl(H_{1}(x)+H_{2}(y(x))\bigr)=M(x)+N(y)\frac{dy}{dx}=0,
logo H_{1}(x)+H_{2}(y)=C; para resolver uma EDO separável isolamos variáveis, integramos cada lado e usamos a condição inicial para determinar C.
(c) y(x)=\sqrt{\dfrac{x^{3}}{3}+1}.

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