(3 pontos) (a) Uma EDO de primeira ordem é dita separável quando pode ser escrita na forma
Informalmente, isso equivale a podemos “separar” com o sinal de igualdade tudo que tem
de tudo que tem
. A equação
é separável? Se sim, quem seria
e quem seria
?
(b) Quando dispomos de uma equação separável e existem primitivas
e
de
e
, respectivamente, podemos reescrever a equação como
Justifique isso e depois diga como usar essa reescrita para encontrar a solução geral de uma EDO separável qualquer.
(c) Resolva o PVI que consiste da EDO do ítem (a) sujeito à restrição
.
(b) Quando dispomos de uma equação separável e existem primitivas
(c) Resolva o PVI que consiste da EDO do ítem (a) sujeito à restrição
Passo 1
Enunciado e dados — o que o problema pede e quais informações nos deu:
- (a) Pergunta se a EDO
é separável. Se for, identificar funções
e
tais que a equação possa ser escrita na forma
- (b) Dado que temos uma EDO separável e que existem primitivas
de e de , justificar por que se pode escrever
e explicar como usar isso para obter a solução geral de uma EDO separável qualquer.
- (c) Resolver o problema de valor inicial (PVI) formado pela EDO do item (a) com a condição inicial
Todos os dados relevantes estão acima: a equação, a forma exigida para separabilidade, a existência de primitivas em (b) e a condição inicial em (c). A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Decidir se a equação é separável e encontrar
e
.
- Começo por escrever a equação dada:
- A ideia de separável é poder escrever algo do tipo
. Reescrevo a equação para essa forma: trago tudo para o lado esquerdo,
mas isso está confuso; em vez disso, multiplico ambos os lados por
e reorganizo para identificar
e
. Multiplicando por
dá
Agora escrevo isso como
Comparando com
, vemos uma escolha natural:
- Observação importante (didática): essa não é a única escolha possível — por exemplo
e também funcionariam — mas a escolha acima é simples e direta. Portanto, a equação é separável e uma escolha válida é e
Passo 3
Explicar didaticamente por que, se
e
, então
.
- Primeiro, o que significa primitiva: dizer que
é primitiva de significa que, por definição,
e dizer que
é primitiva de
significa
- Agora aplicamos a regra da cadeia (chain rule) para derivar em relação a
a função composta . A regra da cadeia diz: se é função de e é função de , então
- Portanto, derivando
obtemos
- Se a EDO é exatamente
, então o lado direito acima vale zero. Concluímos:
- Interpretação: a derivada em relação a
de é zero, então essa soma é constante em qualquer intervalo onde a solução é definida:
com
constante. Isso é a forma implícita da solução geral de uma EDO separável.
Passo 4
Como usar essa reescrita para resolver qualquer EDO separável — passo a passo prático (método que você deve aplicar na prova).
- Passo prático 1 (separar as variáveis): escreva a EDO em forma
ou identifique . Se estiver na forma , podemos ver a equivalência com
- Passo prático 2 (colocar todos os termos em lados distintos): rearranje para obter
ou, mais usualmente, para . A ideia é isolar -dependência no lado e -dependência no lado . - Passo prático 3 (integrar): calcule as primitivas de cada lado. Ou seja, se você tem
, então integre:
- Passo prático 4 (resolver a equação implícita): obtém-se uma equação do tipo
. Se possível, isole explicitamente resolvendo . Às vezes isso exige inverter ; se a inversa existir (ou for expressável), teremos . Se não for possível algebricamente, a solução permanece na forma implícita. - Passo prático 5 (condição inicial): para um PVI, use a condição inicial para determinar
. Escolha o ramo (quando houver sinais ±) que satisfaça a condição inicial e verifique o domínio de definição (por exemplo, evitar raízes quadradas negativas, divisões por zero, etc.). - Exemplo rápido (ilustrativo): se
, então . Integrando, obtemos . Isto é exatamente o conteúdo de transformar a equação em .
Passo 5
Aplicar o método ao PVI do item (c): resolver
com
- Começo separando variáveis. A equação é
Multiplico ambos os lados por
para colocar os
com
e os
com
:
- Agora integro ambos os lados (primitivas). Integro o lado esquerdo em relação a
e o direito em relação a :
Calculo as integrais explicitamente:
onde
é a constante de integração que aparece ao integrar o lado direito (poderíamos colocar a constante num dos lados; aqui fica à direita).
- Então obtemos a relação implícita
- Uso a condição inicial
: substituo e para achar :
- Logo a solução implícita determinada pelo PVI é
- Para obter a solução explícita, tomo raiz quadrada. Há duas raízes possíveis, positiva e negativa:
A condição inicial
seleciona o sinal positivo (pois
dá a condição correta), então a solução do PVI é
- Observação sobre domínio: para que
seja real devemos ter , isto é , ou seja . Em particular, existe um intervalo ao redor de onde a solução é bem definida e contínua; no PVI geralmente nos interessa a solução que contém , e aí escolhemos a raiz positiva.
Resposta
(a) Sim. Por exemplo
e
.
(b) Porque, se e
, então pela regra da cadeia
(b) Porque, se
logo
; para resolver uma EDO separável isolamos variáveis, integramos cada lado e usamos a condição inicial para determinar
.
(c)
(c)