Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os x reais para os quais a série converge), testando também os pontos extremos \\ x=\pm 4.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O termo geral da série é \displaystyle a_n(x)=\frac{n}{4^{n}(n^{2}+1)}\,x^{n}.
A série é uma série de potências em x centrada em 0, então existe um raio R tal que converge para |x|<R (possivelmente converge em alguns extremos).
Passo 2
Escolha do método para encontrar o raio: vou usar o teste da raiz (ou teste da n-ésima raiz) aplicado aos termos da série de potência. Explico o porquê e a ideia do teste:
Para uma série de potências \sum_{n} c_n x^n o raio de convergência R pode ser obtido por
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}.
Equivalentemente, ao aplicar o teste da raiz à série original, calculamos
Como \ln\!\left(\dfrac{n}{n^{2}+1}\right)=\ln n - \ln(n^{2}+1) e \ln(n^{2}+1)=2\ln n + o(1), temos \ln\!\left(\dfrac{n}{n^{2}+1}\right) = -\ln n + o(1). Assim
\ln b_n = \frac{-\ln n + o(1)}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0,
Concluo que o raio de convergência é R=4 e que a série converge absolutamente para todos os x com |x|<4. Agora preciso testar os pontos extremos x=4 e x=-4.
Como \sum 1/n diverge (série harmônica), pela comparação limite a série \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} também diverge. Portanto em x=4 a série diverge, então x=4 não pertence ao intervalo de convergência.
Essa é uma série alternada de termos b_n=\dfrac{n}{n^{2}+1} com sinal (-1)^{n}.
Aplicamos o critério de Leibniz (teste da série alternada):
uma série \sum (-1)^n b_n converge se
b_n\ge 0 para todo n suficientemente grande,
b_n é monótona decrescente a partir de algum n,
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Verificações:
Positividade: b_n=\dfrac{n}{n^{2}+1}>0 para todo n\ge 1.
Limite: \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^{2}+1}=0 porque o denominador cresce como n^{2} e o numerador como n.
Monotonicidade: considere a função contínua f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}. A derivada é
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para x>1 temos f'(x)<0, então f é decrescente em (1,\infty). Assim a sequência b_n=f(n) é decrescente a partir de n\ge 2.
Portanto todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas e a série \sum \dfrac{n(-1)^{n}}{n^{2}+1} converge. Como a soma dos valores absolutos \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} diverge (já vimos no passo anterior), a convergência em x=-4 é condicional, não absoluta.
Logo x=-4 pertence ao conjunto de convergência.
Passo 6
Conclusão final combinando os resultados anteriores:
Raio de convergência: R=4.
Convergência absoluta para |x|<4.
Em x=4: diverge.
Em x=-4: converge (condicionalmente).
Resposta
Intervalo de convergência: \[-4,4)
Raio de convergência: R=4]