(20,0) Determine o intervalo e o raio de convergência da série \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n x^{n}}{4^{n}\left(n^{2}+1\right)}.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em 0
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n x^{n}}{4^{n}\left(n^{2}+1\right)}
O que se pede:
  • Determinar o raio de convergência R.
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os x reais para os quais a série converge), testando também os pontos extremos \\ x=\pm 4.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n(x)=\frac{n}{4^{n}(n^{2}+1)}\,x^{n}.
  • A série é uma série de potências em x centrada em 0, então existe um raio R tal que converge para |x|<R (possivelmente converge em alguns extremos).

Passo 2

Escolha do método para encontrar o raio: vou usar o teste da raiz (ou teste da n-ésima raiz) aplicado aos termos da série de potência. Explico o porquê e a ideia do teste:
  • Para uma série de potências \sum_{n} c_n x^n o raio de convergência R pode ser obtido por
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}.
  • Equivalentemente, ao aplicar o teste da raiz à série original, calculamos
L=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac{n}{4^{n}(n^{2}+1)} x^{n}\right|}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge. Para séries de potências isso dá o raio.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Cálculo do limite do teste da raiz.
Começamos escrevendo o termo dentro da raiz:
\sqrt[n]{\left|\frac{n}{4^{n}(n^{2}+1)} x^{n}\right|} =\left(\frac{n}{n^{2}+1}\right)^{1/n}\cdot\frac{|x|}{4}.
Agora analisamos o fator \left(\dfrac{n}{n^{2}+1}\right)^{1/n} quando n\to\infty.
Para isso, uso logaritmos: seja
b_n=\left(\frac{n}{n^{2}+1}\right)^{1/n}.
Então
\ln b_n=\frac{1}{n}\ln\!\left(\frac{n}{n^{2}+1}\right).
Como \ln\!\left(\dfrac{n}{n^{2}+1}\right)=\ln n - \ln(n^{2}+1) e \ln(n^{2}+1)=2\ln n + o(1), temos \ln\!\left(\dfrac{n}{n^{2}+1}\right) = -\ln n + o(1). Assim
\ln b_n = \frac{-\ln n + o(1)}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0,
logo b_n \to e^0=1.
Portanto o limite do teste da raiz é
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{n}{4^{n}(n^{2}+1)} x^{n}\right|}=\frac{|x|}{4}.
Condição de convergência absoluta pelo teste da raiz: L<1, ou seja
\frac{|x|}{4}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<4.
Concluo que o raio de convergência é R=4 e que a série converge absolutamente para todos os x com |x|<4. Agora preciso testar os pontos extremos x=4 e x=-4.

Passo 4

Teste do extremo x=4.
Substituindo x=4 no termo geral,
\frac{n\cdot 4^{n}}{4^{n}(n^{2}+1)}=\frac{n}{n^{2}+1}.
A série vira
\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n^{2}+1}.
Para investigar a convergência, faço a comparação assintótica com a série harmônica \sum 1/n. Calculo
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{2}+1}}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1.
Como \sum 1/n diverge (série harmônica), pela comparação limite a série \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} também diverge. Portanto em x=4 a série diverge, então x=4 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Teste do extremo x=-4.
Substituindo x=-4 no termo geral,
\frac{n(-4)^{n}}{4^{n}(n^{2}+1)}=\frac{n(-1)^{n}}{n^{2}+1}.
A série fica
\sum_{n=0}^\infty \frac{n(-1)^{n}}{n^{2}+1}.
Essa é uma série alternada de termos b_n=\dfrac{n}{n^{2}+1} com sinal (-1)^{n}.
Aplicamos o critério de Leibniz (teste da série alternada):
uma série \sum (-1)^n b_n converge se
  1. b_n\ge 0 para todo n suficientemente grande,
  2. b_n é monótona decrescente a partir de algum n,
  3. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Verificações:
  • Positividade: b_n=\dfrac{n}{n^{2}+1}>0 para todo n\ge 1.
  • Limite: \displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^{2}+1}=0 porque o denominador cresce como n^{2} e o numerador como n.
  • Monotonicidade: considere a função contínua f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}. A derivada é
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para x>1 temos f'(x)<0, então f é decrescente em (1,\infty). Assim a sequência b_n=f(n) é decrescente a partir de n\ge 2.
Portanto todas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas e a série \sum \dfrac{n(-1)^{n}}{n^{2}+1} converge. Como a soma dos valores absolutos \sum \dfrac{n}{n^{2}+1} diverge (já vimos no passo anterior), a convergência em x=-4 é condicional, não absoluta.
Logo x=-4 pertence ao conjunto de convergência.

Passo 6

Conclusão final combinando os resultados anteriores:
  • Raio de convergência: R=4.
  • Convergência absoluta para |x|<4.
  • Em x=4: diverge.
  • Em x=-4: converge (condicionalmente).

Resposta

Intervalo de convergência: \[-4,4)
Raio de convergência: R=4]

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