1. ( 3,0 pontos) Considere uma firma A, que atua em um determinado mercado tendo como concorrente a firma B. A demanda pelo produto da firma A é dada por q_{A}=\ln (m)-p_{A}+p_{B}, onde m representa o gasto com marketing da firma A e p_{i} denota o preço da firma i=A, B. O custo de produção da firma A é C_{A}\left(q_{A}\right)=c q_{A}. Assim, a função lucro da firma A é dada por:
\pi_{A}\left(m, p_{A} ; p_{B}\right)=\left[\ln (m)-p_{A}+p_{B}\right]\left(p_{A}-c\right)-m
A firma A escolhe o seu gasto com marketing e o seu preço de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas informações:
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para o problema da firma A.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma A.
(c) (1,0 ponto) Encontre o impacto de um aumento no preço da firma B sobre m e p_{A}.

Passo 1

O enunciado dá a função lucro da firma A
\pi_{A}(m,p_{A};p_{B}) = \bigl[\ln(m)-p_{A}+p_{B}\bigr]\,(p_{A}-c)\;-\;m
e pede (a) as condições de primeira ordem (FOCs) para maximizar em m e p_{A}, (b) as condições de segunda ordem (SOCs) via Hessiana, e (c) o efeito de um aumento de p_{B} sobre as escolhas ótimas m^{*} e p_{A}^{*}. Vamos aplicar teoria de maximização não-restrita em duas variáveis, calcular derivadas parciais e usar o teorema da função implícita.

Passo 2

Derivamos em cada variável e igualamos a zero:
Derivada em m:
\frac{\partial \pi_{A}}{\partial m} =\frac{p_{A}-c}{m}-1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{p_{A}-c}{m}-1=0.
Derivada em p_{A}:
\frac{\partial \pi_{A}}{\partial p_{A}} =-(p_{A}-c)+\bigl[\ln(m)-p_{A}+p_{B}\bigr] \quad\Longrightarrow\quad -(p_{A}-c)+\ln(m)-p_{A}+p_{B}=0.

Passo 3

Calculamos a Hessiana e verificamos negativo-definitude:
\frac{\partial^{2}\pi_{A}}{\partial m^{2}} =-\frac{p_{A}-c}{m^{2}}, \quad \frac{\partial^{2}\pi_{A}}{\partial p_{A}^{2}} =-2, \quad \frac{\partial^{2}\pi_{A}}{\partial m\,\partial p_{A}} =\frac{1}{m}.
Para máximo, requer-se
  1. \frac{\partial^{2}\pi_{A}}{\partial m^{2}}<0, ou seja -\tfrac{p_{A}-c}{m^{2}}<0.
  2. Determinante da Hessiana positivo:
\det H =\bigl(-\tfrac{p_{A}-c}{m^{2}}\bigr)\,(-2)\;-\;\bigl(\tfrac{1}{m}\bigr)^{2} =\frac{2(p_{A}-c)-1}{m^{2}}>0 \;\Longrightarrow\;p_{A}-c>\tfrac12.

Passo 4

Para ver o impacto de p_{B}, usamos as FOCs de Passo 2: \frac{p_{A}-c}{m}=1\implies m=p_{A}-c,
-(p_{A}-c)+\ln(m)-p_{A}+p_{B}=0 \;\Longrightarrow\; \ln(m)+p_{B}-2p_{A}+c=0 \;\Longrightarrow\; 2p_{A}=\ln(m)+p_{B}+c.
Substituindo p_{A}=m+c na segunda equação:
2(m+c)=\ln(m)+p_{B}+c \;\Longrightarrow\; 2m-\ln(m)=p_{B}-c.
Diferenciando implicitamente em relação a p_{B}:
(2-\tfrac{1}{m})\,\frac{dm}{dp_{B}}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dm}{dp_{B}} =\frac{1}{2-\tfrac{1}{m}}>0.
Como p_{A}=m+c, segue \frac{dp_{A}}{dp_{B}}=\frac{dm}{dp_{B}}>0.

Resposta

(a) FOCs:
\frac{p_{A}-c}{m}-1=0, \quad -(p_{A}-c)+\ln(m)-p_{A}+p_{B}=0.
(b) SOCs via Hessiana: \frac{\partial^{2}\pi}{\partial m^{2}}<0 e \det H=(2(p_{A}-c)-1)/m^{2}>0, i.e.\ p_{A}-c>1/2.
(c) \displaystyle\frac{\partial m^{*}}{\partial p_{B}}=\frac{1}{2-1/m}>0,\quad \frac{\partial p_{A}^{*}}{\partial p_{B}}=\frac{\partial m^{*}}{\partial p_{B}}>0.

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