As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ?
\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ 0 & 7 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\[6pt] 4 & 2 & 0\\[6pt] 0 & 7 & 6 \end{pmatrix}
e pede que a gente descreva o número de soluções do sistema Ax=b
  1. no caso homogêneo b_1=\cdots=b_3=0;
  2. no caso de um vetor-lado direito genérico b.
    Para isso vamos usar teste de invertibilidade via determinante e, se for singular, achar o posto de A e aplicar o Teorema de Rouché–Capelli.]

Passo 2

Calcular o determinante de A por desenvolvimento na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 7 & 6\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 0\\\ 0 & 6\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 0 & 7\end{pmatrix}.
Cada menor fica
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 7 & 6\end{pmatrix}=2\cdot6-0\cdot7=12, \quad \det\begin{pmatrix}4 & 0\\\ 0 & 6\end{pmatrix}=4\cdot6-0\cdot0=24, \quad \det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 0 & 7\end{pmatrix}=4\cdot7-2\cdot0=28.
Logo
\det(A)=1\cdot12-4\cdot24+3\cdot28=12-96+84=0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A é singular e não invertível. Portanto o sistema Ax=b
  • nunca terá solução única;
  • ou terá infinitas soluções, ou nenhuma.

Passo 4

Para distinguir esses casos, achamos o posto de A. Basta notar que, por exemplo, o menor
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 4 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-4\cdot4=2-16=-14\neq0,
é um 2\times2 menor não nulo. Logo
\mathrm{rank}(A)=2.
O espaço coluna de A tem dimensão 2 e o espaço nulo tem dimensão 3-2=1.

Passo 5

(i) No caso homogêneo Ax=0, o Teorema do Núcleo e Imagem diz que
\dim\ker(A)=3-\mathrm{rank}(A)=1.
Isto significa que há uma família de soluções de dimensão 1 (além da trivial), ou seja, infinitas soluções.

Passo 6

(ii) Para um lado-direito geral b, o Teorema de Rouché–Capelli afirma que o sistema é consistente se, e somente se, b pertencer ao espaço coluna de A. Como esse espaço tem dimensão 2 em \mathbb{R}^3, nem todo b é admissível.
  • Se b\notin\mathrm{Im}(A), então não há solução.
  • Se b\in\mathrm{Im}(A), então, como \mathrm{rank}(A)=2<3, a solução existe mas não é única: há infinitas soluções (família de dimensão 1).

Resposta

(i) Para b=0 o sistema homogêneo tem infinitas soluções.
(ii) Para b genérico, se b não estiver no espaço coluna de A, não há solução; se estiver, há infinitas soluções.

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