1. (2,0 pontos) Considere uma firma que atua em dois mercados: A e B. A demanda inversa no mercado A é dada por p_{A}=A+\frac{1}{q_{A}} e a demanda inversa no mercado B é dada por p_{B}=B-q_{B}, onde A, B>0. A função custo da firma é c\left(q_{A}+q_{B}\right)=\frac{1}{2}\left(q_{A}+q_{B}\right)^{2}. Assim, a função lucro da firma é dada por:
\pi\left(q_{A}, q_{B}\right)=\left(A+\frac{1}{q_{A}}\right) q_{A}+\left(B-q_{B}\right) q_{B}-\frac{1}{2}\left(q_{A}+q_{B}\right)^{2}
A firma escolhe q_{A} e q_{B} de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas informações:
(a) ( 1,0 ponto) Encontre as quantidades escolhidas pela firma, q_{A}^{*} e q_{B}^{*}, como solução para as condições de primeira ordem do seu problema de maximização de lucro.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma.

Passo 1

O enunciado descreve uma firma que opera em dois mercados, A e B, com demandas inversas
p_{A}=A+\frac{1}{q_{A}},\quad p_{B}=B-q_{B},
e custo total
c(q_{A}+q_{B})=\tfrac12\,(q_{A}+q_{B})^{2}.
A firma escolhe q_{A} e (q_{B}$ para maximizar o lucro
\pi(q_{A},q_{B})=\Bigl(A+\frac{1}{q_{A}}\Bigr)q_{A}+\bigl(B-q_{B}\bigr)q_{B}-\tfrac12\,(q_{A}+q_{B})^{2}.
Precisamos (a) derivar as condições de primeira ordem (FOCs) e resolver para q_{A}^{*} e q_{B}^{*}, e (b) verificar as condições de segunda ordem para garantir máximo.)

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais da função lucro e igualamos a zero:
\frac{\partial\pi}{\partial q_{A}} = A - q_{A} - q_{B} = 0
\frac{\partial\pi}{\partial q_{B}} = B - q_{A} - 3\,q_{B} = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} q_{A}+q_{B}=A,\\\ q_{A}+3q_{B}=B, \end{cases}
subtraímos a primeira equação da segunda para obter 2q_{B}=B-A, logo
q_{B}^{*}=\frac{B-A}{2},
e então
q_{A}^{*}=A-q_{B}^{*}=\frac{3A-B}{2}.

Passo 4

Para as condições de segunda ordem, formamos a Hessiana de \pi:
\frac{\partial^{2}\pi}{\partial q_{A}^{2}}=-1,\quad \frac{\partial^{2}\pi}{\partial q_{B}^{2}}=-3,\quad \frac{\partial^{2}\pi}{\partial q_{A}\partial q_{B}}=-1.
O determinante da Hessiana é
\Delta =\Bigl(-1\Bigr)\Bigl(-3\Bigr)-\bigl(-1\bigr)^{2} =3-1=2>0,
e \tfrac{\partial^{2}\pi}{\partial q_{A}^{2}}=-1<0. Como o principal menor de ordem 1 é negativo e \Delta>0, a Hessiana é definida negativa, garantindo que a solução seja um máximo local.

Resposta

(a) q_{A}^{*}=\dfrac{3A-B}{2}, \;q_{B}^{*}=\dfrac{B-A}{2}.
(b) As segundas derivadas são \tfrac{\partial^{2}\pi}{\partial q_{A}^{2}}=-1<0 e \Delta=2>0, o que assegura Hessiana negativa definida e, portanto, máximo.

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