- (2,0 pontos) Considere uma firma que atua em dois mercados:
e
. A demanda inversa no mercado
é dada por
e a demanda inversa no mercado
é dada por
, onde
. A função custo da firma é
. Assim, a função lucro da firma é dada por:
A firma escolhe
e
de forma a maximizar o seu lucro. Com base nessas informações:
(a) ( 1,0 ponto) Encontre as quantidades escolhidas pela firma,
e
, como solução para as condições de primeira ordem do seu problema de maximização de lucro.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma.
(a) ( 1,0 ponto) Encontre as quantidades escolhidas pela firma,
(b) ( 1,0 ponto) Encontre as condições de segunda ordem para o problema da firma.
Passo 1
O enunciado descreve uma firma que opera em dois mercados,
e
, com demandas inversas
e custo total
A firma escolhe
e (q_{B}$ para maximizar o lucro
Precisamos (a) derivar as condições de primeira ordem (FOCs) e resolver para
e
, e (b) verificar as condições de segunda ordem para garantir máximo.)
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais da função lucro e igualamos a zero:
Passo 3
Resolvendo o sistema
subtraímos a primeira equação da segunda para obter
, logo
e então
Passo 4
Para as condições de segunda ordem, formamos a Hessiana de
:
O determinante da Hessiana é
e
. Como o principal menor de ordem 1 é negativo e
, a Hessiana é definida negativa, garantindo que a solução seja um máximo local.
Resposta
(a)
,
(b) As segundas derivadas são e
, o que assegura Hessiana negativa definida e, portanto, máximo.
(b) As segundas derivadas são