- (2,0 pontos) Considere o problema de maximizar
sujeito a
.
(a) ( 0,5 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) (0,5 ponto) Encontre o multiplicador de Lagrange. Interprete.
(a) ( 0,5 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
(c) (0,5 ponto) Encontre o multiplicador de Lagrange. Interprete.
Passo 1
O problema é
maximizar
maximizar
sujeito à restrição
O conteúdo aqui é otimização com restrição de igualdade e vamos precisar usar o método de Lagrange. Também precisamos verificar a qualificação de restrição (condição de não degenerescência do gradiente de
).
Passo 2
A qualificação de restrição de igualdade (condição de regularidade de Mangasarian–Fromovitz) exige que
para todo ponto viável. Como
para todo ponto viável. Como
esse vetor é sempre não nulo. Logo, a qualificação de restrição está satisfeita.
Passo 3
Definimos a Lagrangiana
As condições de primeira ordem são
Passo 4
Das duas primeiras equações temos
Dividindo a segunda pela primeira:
Substituindo na restrição
:
Passo 5
Para encontrar
, usamos
com
:
Interpretação:
é a taxa marginal de variação do máximo de
quando relaxamos a restrição
em uma unidade. Em outras palavras, se aumentarmos o lado direito de 12 para 13, o valor ótimo de
aumenta aproximadamente em
.
Resposta
Os candidatos a solução são
com multiplicador de Lagrange