1. (2,0 pontos) Considere o problema de maximizar f(x, y)=\sqrt{x}+\sqrt{y} sujeito a x+2 y=12.
    (a) ( 0,5 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
    (b) ( 1,0 ponto) Usando o método de Lagrange, encontre o candidato a solução do problema, ou seja, a solução para as condições de primeira ordem.
    (c) (0,5 ponto) Encontre o multiplicador de Lagrange. Interprete.

Passo 1

O problema é
maximizar
f(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}
sujeito à restrição
g(x,y)=x+2y-12=0.
O conteúdo aqui é otimização com restrição de igualdade e vamos precisar usar o método de Lagrange. Também precisamos verificar a qualificação de restrição (condição de não degenerescência do gradiente de g).

Passo 2

A qualificação de restrição de igualdade (condição de regularidade de Mangasarian–Fromovitz) exige que \nabla g(x,y)\neq(0,0)
para todo ponto viável. Como
\nabla g(x,y) = \bigl(\partial_x g,\;\partial_y g\bigr) = (1,2),
esse vetor é sempre não nulo. Logo, a qualificação de restrição está satisfeita.

Passo 3

Definimos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,\lambda) =\sqrt{x}+\sqrt{y} -\lambda\bigl(x+2y-12\bigr).
As condições de primeira ordem são
\partial_x\mathcal{L}= \frac{1}{2\sqrt{x}} - \lambda = 0,
\partial_y\mathcal{L}= \frac{1}{2\sqrt{y}} - 2\lambda = 0,
\partial_\lambda\mathcal{L}= -(x+2y-12)=0.

Passo 4

Das duas primeiras equações temos
\frac{1}{2\sqrt{x}}=\lambda, \qquad \frac{1}{2\sqrt{y}}=2\lambda.
Dividindo a segunda pela primeira:
\frac{1/(2\sqrt{y})}{1/(2\sqrt{x})} =2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=2 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}=2\sqrt{y} \quad\Longrightarrow\quad x=4y.
Substituindo na restrição x+2y=12:
4y+2y=12 \quad\Longrightarrow\quad 6y=12 \quad\Longrightarrow\quad y=2, \quad x=8.

Passo 5

Para encontrar \lambda, usamos \lambda=\tfrac{1}{2\sqrt{x}} com x=8:
\lambda = \frac{1}{2\sqrt{8}} = \frac{1}{2\cdot2\sqrt{2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8}.
Interpretação: \lambda é a taxa marginal de variação do máximo de f quando relaxamos a restrição x+2y=12 em uma unidade. Em outras palavras, se aumentarmos o lado direito de 12 para 13, o valor ótimo de f aumenta aproximadamente em \lambda.

Resposta

Os candidatos a solução são
(x^*,y^*)=(8,2),
com multiplicador de Lagrange
\lambda = \frac{\sqrt{2}}{8}.

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