1. (3,0 pontos) Considere o modelo IS-LM abaixo:
  • Equilíbrio no mercado de bens e serviços: Y=C+I+G;
  • Consumo: C=\alpha+\beta(Y-T+T r), 0<\beta<1;
  • Tributação: T=\eta Y, 0<\eta<1;
  • Transferências: \operatorname{Tr}=\theta Y, 0<\theta<\eta;
  • Investimento: I=\delta-\varphi i;
  • Equilíbrio no mercado monetário: M^{s}=\rho Y-\lambda i;
  • Todos os parâmetros são estritamente positivos.
    (a) (1,0 ponto) Use a regra de Cramer para encontrar o produto, Y, e a taxa de juros, i, que equilibram a economia.
    (b) ( 1,0 ponto) Mostre como um aumento em G impacta Y e i.
    (c) (1,0 ponto ) Mostre como um aumento em \theta impacta Y e i.

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo IS–LM com variáveis endógenas Y e i e parâmetros positivos. As equações são:
– Equilíbrio no mercado de bens:
Y = C + I + G
com
C = \alpha + \beta\bigl(Y - T + \mathrm{Tr}\bigr),\quad T = \eta\,Y,\quad \mathrm{Tr} = \theta\,Y,\quad I = \delta - \varphi\,i.
– Equilíbrio no mercado monetário:
M^s = \rho\,Y - \lambda\,i.
Vamos primeiro juntar as equações de consumo, investimento e tributos para obter a curva IS, depois escrever a LM e, enfim, resolver o sistema por Cramer.

Passo 2

Derivação da IS. Substituindo C, T, \mathrm{Tr} e I em Y=C+I+G:
Y = \alpha + \beta\bigl[Y - \eta Y + \theta Y\bigr] + (\delta - \varphi i) + G.
Agrupando Y no lado esquerdo, definindo
A = 1 - \beta\,(1 - \eta + \theta),
ficamos com
A\,Y + \varphi\,i = \alpha + \delta + G.

Passo 3

Escrevemos a LM diretamente:
\rho\,Y - \lambda\,i = M^s.

Passo 4

Sistema linear em forma matricial:
\begin{cases} A\,Y + \varphi\,i = \alpha + \delta + G,\\\ \rho\,Y - \lambda\,i = M^s. \end{cases}
O determinante comum é
D = \begin{vmatrix} A & \varphi\\\ \rho & -\lambda \end{vmatrix} = -\bigl(A\,\lambda + \varphi\,\rho\bigr)\neq 0.
Pela regra de Cramer, os equilíbrios são
Y = \frac{ \begin{vmatrix} \alpha+\delta+G & \varphi\\\ M^s & -\lambda \end{vmatrix} }{D} = \frac{-\lambda(\alpha+\delta+G)-\varphi\,M^s}{-\,\bigl(A\lambda+\varphi\rho\bigr)} = \frac{\lambda(\alpha+\delta+G)+\varphi\,M^s}{A\lambda+\varphi\rho},
i = \frac{ \begin{vmatrix} A & \alpha+\delta+G\\\ \rho & M^s \end{vmatrix} }{D} = \frac{A\,M^s-\rho(\alpha+\delta+G)}{-\,(A\lambda+\varphi\rho)} = \frac{\rho(\alpha+\delta+G)-A\,M^s}{A\lambda+\varphi\rho}.

Passo 5

Impacto de G. Como somente o numerador de Y e de i depende de G via \alpha+\delta+G, temos
\frac{\partial Y}{\partial G} = \frac{\lambda}{A\lambda+\varphi\rho}>0, \qquad \frac{\partial i}{\partial G} = \frac{\rho}{A\lambda+\varphi\rho}>0.

Passo 6

Impacto de \theta. Note que A=1-\beta(1-\eta+\theta) depende de \theta com \partial A/\partial\theta=-\beta. Aplicando derivadas:
\frac{\partial Y}{\partial\theta} = \frac{\beta\,\lambda\bigl[\lambda(\alpha+\delta+G)+\varphi\,M^s\bigr]}{\bigl(A\lambda+\varphi\rho\bigr)^2}>0,
\frac{\partial i}{\partial\theta} = \frac{\beta\,\rho\bigl[\lambda(\alpha+\delta+G)+\varphi\,M^s\bigr]}{\bigl(A\lambda+\varphi\rho\bigr)^2}>0.

Resposta

(a)
Y = \frac{\lambda(\alpha+\delta+G) + \varphi\,M^s}{\,\lambda\,A + \varphi\,\rho\,}, \qquad i = \frac{\rho(\alpha+\delta+G) - A\,M^s}{\,\lambda\,A + \varphi\,\rho\,},
com A=1-\beta(1-\eta+\theta).
(b)
\frac{\partial Y}{\partial G} = \frac{\lambda}{A\lambda+\varphi\rho}>0, \quad \frac{\partial i}{\partial G} = \frac{\rho}{A\lambda+\varphi\rho}>0.
(c)
\frac{\partial Y}{\partial\theta} = \frac{\beta\,\lambda\bigl[\lambda(\alpha+\delta+G)+\varphi M^s\bigr]}{(A\lambda+\varphi\rho)^2}>0, \quad \frac{\partial i}{\partial\theta} = \frac{\beta\,\rho\bigl[\lambda(\alpha+\delta+G)+\varphi M^s\bigr]}{(A\lambda+\varphi\rho)^2}>0.

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