( 0,1 pontos) Considere a função f:[2,4] \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1.
(a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os.
(b) Mostre que f(x) \geq 1 para todo x \in[2,4].

Passo 1

O enunciado dá a função f:[2,4]\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1.
As perguntas são:
(a) Determinar os pontos críticos de f e classificar esses pontos (mínimo, máximo ou ponto de inflexão).
(b) Mostrar que f(x)\geq 1 para todo x\in[2,4].
Informações relevantes dadas:
  • A função é um polinômio de grau 3, portanto é diferenciável em todo \mathbb{R} (logo a derivada existe em todos os pontos).
  • O domínio restrito é [2,4], então para extremos absolutos devemos considerar pontos críticos internos e também os extremos do intervalo (os pontos x=2 e x=4).

Passo 2

Explicar o que é ponto crítico e como encontrá-lo (aula rápida).
  • Um ponto crítico de f é um valor x em que a derivada f'(x) é zero ou não existe. Aqui a derivada existe em todo lugar, então procuramos x tais que f'(x)=0.
  • Para calcular a derivada de um polinômio usa-se a regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Exemplo simples: a derivada de x^{3} é 3x^{2}.
Aplicando a regra do poder termo a termo em f(x):
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1
\Rightarrow f'(x)=3x^{2}-12x+9.

Passo 3

Resolver f'(x)=0 (achar os pontos críticos).
Primeiro fatorar a derivada passo a passo:
f'(x)=3x^{2}-12x+9=3\bigl(x^{2}-4x+3\bigr).
Fatorando o quadrático x^{2}-4x+3:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Portanto
f'(x)=3(x-1)(x-3).
Igualando a zero:
3(x-1)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \quad\text{ou}\quad x=3.
Esses são os pontos críticos no conjunto \mathbb{R}. Como o domínio é [2,4], apenas x=3 pertence ao domínio; x=1 está fora de [2,4]. Lembre-se também de que, para extremos absolutos no intervalo fechado [2,4], devemos avaliar os candidatos: pontos críticos internos (aqui x=3) e os extremos do intervalo x=2 e x=4.

Passo 4

Classificação do ponto crítico x=3 usando a segunda derivada (aula rápida sobre a segunda derivada).
  • A segunda derivada f''(x) mede a concavidade da função. Se f''\text{(c)}>0 em um ponto crítico c, a curva é côncava para cima ali e c é um mínimo local. Se f''\text{(c)}<0, é um máximo local. Se f''\text{(c)}=0, o teste é inconclusivo e precisa-se de outro método.
    Calculemos f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-12x+9\bigr)=6x-12.
Avaliaremos em x=3:
f''(3)=6\cdot 3-12=18-12=6>0.
Como f''(3)>0, concluímos que x=3 é um mínimo local.
Também é útil ver o comportamento monotônico (teste da primeira derivada) na prática: para x\in(2,3) temos x-1>0 e x-3<0, logo f'(x)=3(x-1)(x-3)<0 — a função decresce em (2,3). Para x\in(3,4) temos x-3>0, então f'(x)>0 — a função cresce em (3,4). Isso confirma que em x=3 há uma mudança de decrescente para crescente, portanto mínimo.

Passo 5

Avaliar f nos candidatos a extremos (cálculos detalhados passo a passo).
Calcular f(2):
f(2)=2^{3}-6\cdot 2^{2}+9\cdot 2+1
=8-6\cdot 4+18+1
=8-24+18+1
=3.
Calcular f(3):
f(3)=3^{3}-6\cdot 3^{2}+9\cdot 3+1
=27-6\cdot 9+27+1
=27-54+27+1
=1.
Calcular f(4):
f(4)=4^{3}-6\cdot 4^{2}+9\cdot 4+1
=64-6\cdot 16+36+1
=64-96+36+1
=5.
Comparando os valores:
f(2)=3,\quad f(3)=1,\quad f(4)=5.
Dentre os pontos testados, o menor valor é 1 em x=3. Como a função é contínua (polinômio) no intervalo fechado [2,4], por um teorema básico ela atinge mínimo e máximo no intervalo, e esses ocorrem entre os candidatos que checamos. Logo x=3 é o mínimo absoluto em [2,4].

Passo 6

Prova direta e elegante de que f(x)\geq 1 em [2,4] usando fatoração (uma demonstração que dá “nome” ao porquê do mínimo ser exatamente 1).
Subtrai-se 1 de f(x) e fatoramos:
f(x)-1=x^{3}-6x^{2}+9x+1-1=x^{3}-6x^{2}+9x.
Fatorando x e reconhecendo um quadrado perfeito:
x^{3}-6x^{2}+9x=x\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)=x(x-3)^{2}.
Portanto
f(x)-1=x(x-3)^{2}.
Agora, para todo x\in[2,4]:
  • (x-3)^{2}\geq 0 (quadrado é sempre não negativo),
  • x\geq 2>0 no intervalo [2,4],
    logo o produto x(x-3)^{2}\geq 0. Assim f(x)-1\geq 0, ou seja
f(x)\geq 1\quad\text{para todo }x\in[2,4].
A igualdade ocorre exatamente quando (x-3)^{2}=0, isto é, para x=3, fornecendo o mínimo igual a 1.

Resposta

(a) Os pontos críticos de f são \;x=1 e \;x=3. Desses, apenas \;x=3\in[2,4]; \;x=3 é um mínimo local (e também mínimo absoluto em [2,4]).
(b) \;f(x)\geq 1 para todo x\in[2,4] (igualdade em x=3).

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