( 0,1 pontos) Considere a função
dada por
.
(a) Determine os pontos críticos de
e classifique-os.
(b) Mostre que
para todo
.
(a) Determine os pontos críticos de
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
(a) Determinar os pontos críticos de e classificar esses pontos (mínimo, máximo ou ponto de inflexão).
(b) Mostrar que para todo
.
(a) Determinar os pontos críticos de
(b) Mostrar que
Informações relevantes dadas:
- A função é um polinômio de grau 3, portanto é diferenciável em todo
(logo a derivada existe em todos os pontos). - O domínio restrito é
, então para extremos absolutos devemos considerar pontos críticos internos e também os extremos do intervalo (os pontos e ).
Passo 2
Explicar o que é ponto crítico e como encontrá-lo (aula rápida).
- Um ponto crítico de
é um valor em que a derivada é zero ou não existe. Aqui a derivada existe em todo lugar, então procuramos tais que . - Para calcular a derivada de um polinômio usa-se a regra do poder: a derivada de
é . Exemplo simples: a derivada de é .
Aplicando a regra do poder termo a termo em
:
Passo 3
Resolver
(achar os pontos críticos).
Primeiro fatorar a derivada passo a passo:
Primeiro fatorar a derivada passo a passo:
Fatorando o quadrático
:
Portanto
Igualando a zero:
Esses são os pontos críticos no conjunto
. Como o domínio é
, apenas
pertence ao domínio;
está fora de
. Lembre-se também de que, para extremos absolutos no intervalo fechado
, devemos avaliar os candidatos: pontos críticos internos (aqui
) e os extremos do intervalo
e
.
Passo 4
Classificação do ponto crítico
usando a segunda derivada (aula rápida sobre a segunda derivada).
- A segunda derivada
mede a concavidade da função. Se em um ponto crítico , a curva é côncava para cima ali e é um mínimo local. Se , é um máximo local. Se , o teste é inconclusivo e precisa-se de outro método.
Calculemos:
Avaliaremos em
:
Como
, concluímos que
é um mínimo local.
Também é útil ver o comportamento monotônico (teste da primeira derivada) na prática: para
temos
e
, logo
— a função decresce em
. Para
temos
, então
— a função cresce em
. Isso confirma que em
há uma mudança de decrescente para crescente, portanto mínimo.
Passo 5
Avaliar
nos candidatos a extremos (cálculos detalhados passo a passo).
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Calcular
:
Comparando os valores:
Dentre os pontos testados, o menor valor é
em
. Como a função é contínua (polinômio) no intervalo fechado
, por um teorema básico ela atinge mínimo e máximo no intervalo, e esses ocorrem entre os candidatos que checamos. Logo
é o mínimo absoluto em
.
Passo 6
Prova direta e elegante de que
em
usando fatoração (uma demonstração que dá “nome” ao porquê do mínimo ser exatamente
).
Subtrai-se de
e fatoramos:
Subtrai-se
Fatorando
e reconhecendo um quadrado perfeito:
Portanto
Agora, para todo
:
-
(quadrado é sempre não negativo), -
no intervalo ,
logo o produto. Assim , ou seja
A igualdade ocorre exatamente quando
, isto é, para
, fornecendo o mínimo igual a
.
Resposta
(a) Os pontos críticos de
são
e
. Desses, apenas
;
é um mínimo local (e também mínimo absoluto em
).
(b) para todo
(igualdade em
).
(b)