( 0,05 pontos) Seja
. Aplique
em ambos os lados da definição de
e derive em relação a
usando a Regra da Cadeia para mostrar que
. Conclua que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e pede para: aplicar
em ambos os lados, derivar em relação a
usando a Regra da Cadeia e mostrar que
; a partir disso, concluir que
.
Informações relevantes:
- A função é
e . - Para aplicar
precisamos de . Portanto, a argumentação que usa vale quando . (Observação: se for inteiro, a fórmula final vale para todo .)
Passo 2
Aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da definição
. Como propriedades dos logaritmos dizem que
para
, temos:
Passo 3
Agora vamos derivar ambos os lados em relação a
. Começando pelo lado esquerdo, usar a Regra da Cadeia para derivar
.
Explicação da Regra da Cadeia aqui: se temos uma composição
, a derivada é
Aplicando isso com
obtém-se
Passo 4
Agora derivar o lado direito
. Aqui
é constante em relação a
, e a derivada de
é
. Assim
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados (já que derivámos a igualdade do Passo 2), obtemos
Multiplicando ambos os lados por
segue
Substituindo
dá
usando a regra de potências para manipular
.
Passo 6
Breve verificação com exemplos concretos para fixar:
- Se
, e a fórmula dá , que é o que se conhece. - Se
, (para ) e a fórmula dá , que também coincide com a derivada conhecida.
Observação final: a derivação por logaritmos é uma forma muito útil quando a função é potência com expoente qualquer real; ela se baseia na propriedade do logaritmo que transforma potência em produto e na Regra da Cadeia para differentiar a composição.