( 0,05 pontos) Seja f(x)=x^{\alpha}, \alpha \neq 0. Aplique \ln em ambos os lados da definição de f(x) e derive em relação a x usando a Regra da Cadeia para mostrar que \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{\alpha}{x}. Conclua que f^{\prime}(x)=\alpha x^{\alpha-1}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{\alpha} com \alpha\neq 0 e pede para: aplicar \ln em ambos os lados, derivar em relação a x usando a Regra da Cadeia e mostrar que \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{\alpha}{x}; a partir disso, concluir que f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}.
Informações relevantes:
  • A função é f(x)=x^{\alpha} e \alpha\neq 0.
  • Para aplicar \ln precisamos de f(x)>0. Portanto, a argumentação que usa \ln vale quando x>0. (Observação: se \alpha for inteiro, a fórmula final vale para todo x.)

Passo 2

Aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da definição f(x)=x^{\alpha}. Como propriedades dos logaritmos dizem que \ln(a^{b})=b\ln(a) para a>0, temos:
\ln(f(x))=\ln\bigl(x^{\alpha}\bigr)=\alpha\ln(x).

Passo 3

Agora vamos derivar ambos os lados em relação a x. Começando pelo lado esquerdo, usar a Regra da Cadeia para derivar \ln(f(x)).
Explicação da Regra da Cadeia aqui: se temos uma composição g(x)=\ln(u(x)), a derivada é
g'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x).
Aplicando isso com u(x)=f(x) obtém-se
\frac{d}{dx}\ln\bigl(f(x)\bigr)=\frac{f'(x)}{f(x)}.

Passo 4

Agora derivar o lado direito \alpha\ln(x). Aqui \alpha é constante em relação a x, e a derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x}. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(\alpha\ln(x)\bigr)=\alpha\cdot\frac{1}{x}=\frac{\alpha}{x}.

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados (já que derivámos a igualdade do Passo 2), obtemos
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{\alpha}{x}.
Multiplicando ambos os lados por f(x) segue
f'(x)=\frac{\alpha}{x}\,f(x).
Substituindo f(x)=x^{\alpha}
f'(x)=\frac{\alpha}{x}\,x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1},
usando a regra de potências para manipular x^{\alpha}/x=x^{\alpha-1}.

Passo 6

Breve verificação com exemplos concretos para fixar:
  • Se \alpha=3, f(x)=x^{3} e a fórmula dá f'(x)=3x^{2}, que é o que se conhece.
  • Se \alpha=\tfrac{1}{2}, f(x)=\sqrt{x} (para x>0) e a fórmula dá f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, que também coincide com a derivada conhecida.
Observação final: a derivação por logaritmos é uma forma muito útil quando a função é potência com expoente qualquer real; ela se baseia na propriedade do logaritmo que transforma potência em produto e na Regra da Cadeia para differentiar a composição.

Resposta

f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}

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