( 0,05 pontos) Sejam
com
e
a função dada por
. Determine os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos, crescimento e decrescimento e concavidade de
e esboce seu gráfico. O que aconteceria se
?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas claras — vou listar tudo bem explicitamente.
-
Dados:
-
com . - A função
é dada por
-
-
O que é pedido:
- Determinar os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos de
. - Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de
. - Determinar a concavidade de
. - Esboçar (descrever) o gráfico de
. - Dizer o que aconteceria se
.
- Determinar os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos de
A partir daqui vou resolver passo a passo e, ao longo do caminho, ensinar o porquê de cada passo de forma bem didática.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos usando a derivada (a ideia):
- Conceito rápido: um ponto crítico é onde a derivada
é zero ou não existe. Para polinômios a derivada existe em todo lugar, então procuramos . - Calcule a derivada de
:
- Igualamos a zero para achar o(s) candidato(s) a extremo:
- Conclusão deste passo: há exatamente um ponto crítico em
. Esse é o eixo de simetria da parábola e é o lugar do possível extremo.
Passo 3
Calcular o valor de
no ponto crítico (coordenada do vértice):
- Substituir
em :
- Fazer as contas passo a passo:
- Somando:
- Portanto o vértice (coordenada do extremo) é
Passo 4
Classificação do extremo pelo teste da segunda derivada (explicando o teste):
- Conceito rápido: para funções duas vezes diferenciáveis, se
então é mínimo local; se então é máximo local. - Calcule a segunda derivada:
- Como no enunciado
, temos para todo . - Aplicando o teste no ponto crítico
: implica que é um ponto de mínimo local. - Conclusão: para
o vértice é um mínimo local.
Passo 5
Mostrar que esse mínimo é também absoluto (global) quando
:
- Ideia: se a parábola abre para cima (
), então . Assim nenhum outro valor da função pode ser menor indefinidamente; o menor valor ocorre no vértice. - Verificação rápida:
logo
.
- Assim o mínimo em
é um mínimo absoluto e único. - Não existe máximo absoluto: como
quando , a função não tem maior valor finito.
Passo 6
Determinar intervalos de crescimento e decrescimento (análise do sinal de
):
- Recordando:
é uma função linear; seu zero é . - Para
, o coeficiente de em é positivo, então: - Se
então é decrescente em . - Se
então é crescente em .
- Se
- Em resumo:
Passo 7
Concavidade da função (interpretando
):
- Já achamos
. - Para
temos para todo , isto significa que a curva é côncava para cima em toda a reta real. - Interpretação visual simples: “côncava para cima” quer dizer que a parábola tem formato de ‘U’ (abre para cima).
Passo 8
Esboço descritivo do gráfico e informações úteis para desenhar:
- Forma: uma parábola que abre para cima (porque
), com eixo de simetria vertical . - Vértice: em
, que é o ponto de mínimo absoluto. - Interseção com o eixo
: em tem . (Pegou-se este valor do enunciado: .) - Raízes (se quiser localizá-las): estão dadas pela fórmula de Bhaskara, se o discriminante
for ; se não há raízes reais. - Comportamento nas extremidades:
quando . - Para esboçar na prova: marque o vértice, a interseção com
(valor ), a(s) raiz(es) se existirem, trace a parábola simétrica ao redor de .
Passo 9
O que mudaria se
?
- Repetindo os passos chave com
: - O ponto crítico continua sendo
e o valor no vértice continua sendo (a fórmula é a mesma). - Agora
para todo . Pelo teste da segunda derivada isso indica que o vértice é um ponto de máximo local. - Como
a parábola abre para baixo, então . Assim o máximo no vértice é também máximo absoluto. - Não existe mínimo absoluto (a função vai para
). - Sinal da derivada (intervalos de crescimento/decrescimento) inverte comparado ao caso
: - Para
: tem coeficiente de negativo, logo -
é crescente em , -
é decrescente em .
-
- Para
- Concavidade: côncava para baixo em toda a reta real.
- O ponto crítico continua sendo
Passo 10
Resumo pedagógico final (como aplicar isso rapidamente numa prova)
- Passos práticos para qualquer quadrática
: - Calcule
. - Calcule
. - Compute
: se tem mínimo (parábola abre para cima); se tem máximo (parábola abre para baixo). - Para crescimento/decrescimento use
e analise o sinal à esquerda e à direita de . - Para esboço marque vértice, interseção com
em e, se desejar, as raízes com Bhaskara.
- Calcule
Resposta
Ponto crítico:
.
Valor no vértice: .
Valor no vértice:
Para
:
- Mínimo local e absoluto: em
. - Não existe máximo local nem máximo absoluto (a função tende a
em ). - Crescimento/decrescimento:
-
decresce em . -
cresce em .
-
- Concavidade:
para todo ; concavidade para cima em toda . - Esboço: parábola em forma de “U” abrindo para cima, eixo de simetria
, vértice no ponto acima, interseção em igual a , comportamento quando .
Se
:
- O vértice
é máximo local e máximo absoluto. - Não existe mínimo absoluto (a função tende a
em ). - Crescimento/decrescimento:
-
cresce em . -
decresce em .
-
- Concavidade:
para todo ; concavidade para baixo em toda .