( 0,05 pontos) Sejam a, b, c \in \mathbb{R} com a>0 e f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x)=a x^{2}+b x+c. Determine os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos, crescimento e decrescimento e concavidade de f e esboce seu gráfico. O que aconteceria se a<0 ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas claras — vou listar tudo bem explicitamente.
  • Dados:
    • a,b,c\in\mathbb{R} com a>0.
    • A função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é dada por
    f(x)=a x^{2}+b x+c.
  • O que é pedido:
    1. Determinar os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos de f.
    2. Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
    3. Determinar a concavidade de f.
    4. Esboçar (descrever) o gráfico de f.
    5. Dizer o que aconteceria se a<0.
A partir daqui vou resolver passo a passo e, ao longo do caminho, ensinar o porquê de cada passo de forma bem didática.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos usando a derivada (a ideia):
  • Conceito rápido: um ponto crítico é onde a derivada f'(x) é zero ou não existe. Para polinômios a derivada existe em todo lugar, então procuramos f'(x)=0.
  • Calcule a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=2a x + b.
  • Igualamos a zero para achar o(s) candidato(s) a extremo:
2a x + b = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{b}{2a}.
  • Conclusão deste passo: há exatamente um ponto crítico em x_v=-\dfrac{b}{2a}. Esse x_v é o eixo de simetria da parábola e é o lugar do possível extremo.

Passo 3

Calcular o valor de f no ponto crítico (coordenada do vértice):
  • Substituir x_v=-\dfrac{b}{2a} em f:
f\!\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^{2} + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c.
  • Fazer as contas passo a passo:
\left(-\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}},
a\cdot\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{b^{2}}{4a},
b\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)=-\frac{b^{2}}{2a}.
  • Somando:
f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)=\frac{b^{2}}{4a}-\frac{b^{2}}{2a}+c = -\frac{b^{2}}{4a}+c.
  • Portanto o vértice (coordenada do extremo) é
\left(-\frac{b}{2a},\; c - \frac{b^{2}}{4a}\right).

Passo 4

Classificação do extremo pelo teste da segunda derivada (explicando o teste):
  • Conceito rápido: para funções duas vezes diferenciáveis, se f''(x_0)>0 então x_0 é mínimo local; se f''(x_0)<0 então é máximo local.
  • Calcule a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}(2a x + b)=2a.
  • Como no enunciado a>0, temos f''(x)=2a>0 para todo x.
  • Aplicando o teste no ponto crítico x_v: f''(x_v)=2a>0 implica que x_v é um ponto de mínimo local.
  • Conclusão: para a>0 o vértice é um mínimo local.

Passo 5

Mostrar que esse mínimo é também absoluto (global) quando a>0:
  • Ideia: se a parábola abre para cima ( a>0), então \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty. Assim nenhum outro valor da função pode ser menor indefinidamente; o menor valor ocorre no vértice.
  • Verificação rápida:
\lim_{x\to\pm\infty} a x^{2} = +\infty \quad\text{(quando \(a>0\))},
logo \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=+\infty.
  • Assim o mínimo em x_v é um mínimo absoluto e único.
  • Não existe máximo absoluto: como f(x)\to+\infty quando |x|\to\infty, a função não tem maior valor finito.

Passo 6

Determinar intervalos de crescimento e decrescimento (análise do sinal de f'):
  • Recordando: f'(x)=2a x + b é uma função linear; seu zero é x_v=-\dfrac{b}{2a}.
  • Para a>0, o coeficiente de x em f' é positivo, então:
    • Se x<x_v então 2a x + b<0 \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f é decrescente em (-\infty,\; -\dfrac{b}{2a}).
    • Se x>x_v então 2a x + b>0 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f é crescente em (-\dfrac{b}{2a},\; +\infty).
  • Em resumo:
f\\ \text{é decrescente em }\left(-\infty,\\\ -\frac{b}{2a}\right) \quad\text{e crescente em }\left(-\frac{b}{2a},\\\ +\infty\right).é

Passo 7

Concavidade da função (interpretando f''):
  • Já achamos f''(x)=2a.
  • Para a>0 temos f''(x)>0 para todo x, isto significa que a curva é côncava para cima em toda a reta real.
  • Interpretação visual simples: “côncava para cima” quer dizer que a parábola tem formato de ‘U’ (abre para cima).

Passo 8

Esboço descritivo do gráfico e informações úteis para desenhar:
  • Forma: uma parábola que abre para cima (porque a>0), com eixo de simetria vertical x=-\dfrac{b}{2a}.
  • Vértice: em \left(-\dfrac{b}{2a},\; c - \dfrac{b^{2}}{4a}\right), que é o ponto de mínimo absoluto.
  • Interseção com o eixo y: em x=0 tem f(0)=c. (Pegou-se este valor do enunciado: f(0)=c.)
  • Raízes (se quiser localizá-las): estão dadas pela fórmula de Bhaskara, se o discriminante \Delta=b^{2}-4ac for \ge 0; se \Delta<0 não há raízes reais.
  • Comportamento nas extremidades: f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.
  • Para esboçar na prova: marque o vértice, a interseção com y (valor c), a(s) raiz(es) se existirem, trace a parábola simétrica ao redor de x=-\dfrac{b}{2a}.

Passo 9

O que mudaria se a<0?
  • Repetindo os passos chave com a<0:
    • O ponto crítico continua sendo x_v=-\dfrac{b}{2a} e o valor no vértice continua sendo f(x_v)=c-\dfrac{b^{2}}{4a} (a fórmula é a mesma).
    • Agora f''(x)=2a<0 para todo x. Pelo teste da segunda derivada isso indica que o vértice é um ponto de máximo local.
    • Como a<0 a parábola abre para baixo, então \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=-\infty. Assim o máximo no vértice é também máximo absoluto.
    • Não existe mínimo absoluto (a função vai para -\infty).
    • Sinal da derivada (intervalos de crescimento/decrescimento) inverte comparado ao caso a>0:
      • Para a<0: f'(x)=2a x+b tem coeficiente de x negativo, logo
        • f é crescente em (-\infty,\\\ -\dfrac{b}{2a}),
        • f é decrescente em (-\dfrac{b}{2a},\\\ +\infty).
    • Concavidade: côncava para baixo em toda a reta real.

Passo 10

Resumo pedagógico final (como aplicar isso rapidamente numa prova)
  • Passos práticos para qualquer quadrática f(x)=a x^{2}+b x+c:
    1. Calcule x_v=-\dfrac{b}{2a}.
    2. Calcule f(x_v)=c-\dfrac{b^{2}}{4a}.
    3. Compute f''(x)=2a: se 2a>0 tem mínimo (parábola abre para cima); se 2a<0 tem máximo (parábola abre para baixo).
    4. Para crescimento/decrescimento use f'(x)=2a x+b e analise o sinal à esquerda e à direita de x_v.
    5. Para esboço marque vértice, interseção com y em c e, se desejar, as raízes com Bhaskara.

Resposta

Ponto crítico: x_v=-\dfrac{b}{2a}.
Valor no vértice: f(x_v)=c-\dfrac{b^{2}}{4a}.
Para a>0:
  • Mínimo local e absoluto: em \left(-\dfrac{b}{2a},\; c-\dfrac{b^{2}}{4a}\right).
  • Não existe máximo local nem máximo absoluto (a função tende a +\infty em \pm\infty).
  • Crescimento/decrescimento:
    • f decresce em \left(-\infty,\\\ -\dfrac{b}{2a}\right).
    • f cresce em \left(-\dfrac{b}{2a},\\\ +\infty\right).
  • Concavidade: f''(x)=2a>0 para todo x; concavidade para cima em toda \mathbb{R}.
  • Esboço: parábola em forma de “U” abrindo para cima, eixo de simetria x=-\dfrac{b}{2a}, vértice no ponto acima, interseção em y igual a c, comportamento f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.
Se a<0:
  • O vértice \left(-\dfrac{b}{2a},\; c-\dfrac{b^{2}}{4a}\right) é máximo local e máximo absoluto.
  • Não existe mínimo absoluto (a função tende a -\infty em \pm\infty).
  • Crescimento/decrescimento:
    • f cresce em \left(-\infty,\\\ -\dfrac{b}{2a}\right).
    • f decresce em \left(-\dfrac{b}{2a},\\\ +\infty\right).
  • Concavidade: f''(x)=2a<0 para todo x; concavidade para baixo em toda \mathbb{R}.

Exercícios relacionados