Em cada um dos Problemas de 1 a 8, encontre a solução estacionária da equação de condução de calor \alpha^{2} u_{x x}=u_{t} que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
(1) u(0, t)=10, \quad u(50, t)=40
(2) u_{x}(0, t)=0, \quad u(L, t)=0
(3) u_{x}(0, t)=0, \quad u(L, t)=T
(4) u_{x}(0, t)-u(0, t)=0, \quad u(L, t)=T

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede. O enunciado nos dá a equação de condução térmica
\alpha^{2} u_{xx}=u_{t},
e pede a solução estacionária (ou seja, a solução independente do tempo) para quatro diferentes conjuntos de condições de contorno.
As condições de contorno de cada problema são:
(1) \;u(0,t)=10,\quad u(50,t)=40. (domínio em x é [0,50].)
(2) \;u_x(0,t)=0,\quad u(L,t)=0. (domínio em x é [0,L].)
(3) \;u_x(0,t)=0,\quad u(L,t)=T. (domínio em x é [0,L].)
(4) \;u_x(0,t)-u(0,t)=0,\quad u(L,t)=T. (domínio em x é [0,L].)
O pedido comum a todos: encontrar a solução estacionária, isto é a função u(x) que não depende de t e que satisfaz as condições de contorno indicadas.

Passo 2

Entender o que significa “solução estacionária”: para uma solução independente do tempo, tem-se \,u_{t}=0. Substituindo na equação dada obtemos a equação ordinária
\alpha^{2} u_{xx}=0.
Como \alpha\neq 0, isso é equivalente a
u_{xx}=0.
Agora resolvemos essa ODE de segunda ordem simples por integração direta.
Integrando uma vez em x:
u_x=C_1,
onde C_1 é constante. Integrando de novo:
u(x)=C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante. Ou seja, toda solução estacionária é uma função afim (reta) em x. As constantes C_1,C_2 serão determinadas pelas condições de contorno de cada item.
Dica prática rápida: para aplicar condições do tipo u(0)= valor, avalia-se u(0)=C_2. Para condições do tipo u_x(0)= valor, usa-se u_x(x)=C_1, então u_x(0)=C_1. Para uma condição mista (Robin) como u_x(0)-u(0)=0, substitui-se C_1 - C_2 =0.

Passo 3

Condição: u(0,t)=10 e u(50,t)=40. Para a solução estacionária u(x)=C_1 x + C_2:
  • Avaliando em x=0:
u(0)=C_2=10.
  • Avaliando em x=50:
u(50)=C_1\cdot 50 + C_2 =40.
Substituindo C_2=10:
50 C_1 + 10 = 40 \quad\Rightarrow\quad 50 C_1 = 30 \quad\Rightarrow\quad C_1=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}.
Portanto a solução estacionária é
u(x)=\frac{3}{5}x + 10.

Passo 4

Condição: u_x(0,t)=0 e u(L,t)=0. Para u(x)=C_1 x + C_2:
  • Da condição de derivada em x=0:
u_x(x)=C_1 \quad\Rightarrow\quad u_x(0)=C_1=0.
  • Da condição em x=L:
u(L)=C_1 L + C_2 =0.
Com C_1=0 segue C_2=0.
Portanto a solução estacionária é a função zero:
u(x)=0.
Observação física simples: com fluxo nulo na esquerda ( u_x(0)=0) e temperatura zero em x=L, a distribuição estacionária fica em zero em todo o segmento.

Passo 5

Condição: u_x(0,t)=0 e u(L,t)=T. Para u(x)=C_1 x + C_2:
  • Da derivada em x=0:
C_1=0.
  • Da condição em x=L:
u(L)=C_1 L + C_2 = T.
Com C_1=0 segue C_2=T.
Portanto a solução estacionária é constante e igual a T:
u(x)=T.
Intuição: fluxo zero na esquerda e temperatura fixa T na direita resulta numa solução constante igual a T.

Passo 6

Condição: u_x(0,t)-u(0,t)=0 (condição mista / Robin na esquerda) e u(L,t)=T.
Para u(x)=C_1 x + C_2 temos u_x(0)=C_1 e u(0)=C_2. A condição Robin dá:
C_1 - C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = C_2.
A condição em x=L
u(L)=C_1 L + C_2 = T.
Substituindo C_2=C_1:
C_1 L + C_1 = C_1 (L+1) = T \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{T}{L+1}.
Logo C_2 = \dfrac{T}{L+1}.
A solução estacionária é
u(x)=\frac{T}{L+1}\,x + \frac{T}{L+1} = \frac{T}{L+1}(x+1).
Interpretação curta: a condição Robin relaciona o gradiente com a própria temperatura na fronteira, produzindo uma reta que passa por x=-1 com valor zero (se estendida), daí o fator x+1.

Resposta

(1) u(x)=\dfrac{3}{5}x+10
(2) u(x)=0
(3) u(x)=T
(4) u(x)=\dfrac{T}{L+1}\,(x+1)

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