Em cada um dos Problemas de 1 a 8, encontre a solução estacionária da equação de condução de calor
que satisfaz o conjunto dado de condições de contorno.
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede. O enunciado nos dá a equação de condução térmica
e pede a solução estacionária (ou seja, a solução independente do tempo) para quatro diferentes conjuntos de condições de contorno.
As condições de contorno de cada problema são:
(1) (domínio em
é
.)
(2) (domínio em
é
.)
(3) (domínio em
é
.)
(4) (domínio em
é
.)
(1)
(2)
(3)
(4)
O pedido comum a todos: encontrar a solução estacionária, isto é a função
que não depende de
e que satisfaz as condições de contorno indicadas.
Passo 2
Entender o que significa “solução estacionária”: para uma solução independente do tempo, tem-se
. Substituindo na equação dada obtemos a equação ordinária
Como
, isso é equivalente a
Agora resolvemos essa ODE de segunda ordem simples por integração direta.
Integrando uma vez em
:
onde
é constante. Integrando de novo:
onde
é outra constante. Ou seja, toda solução estacionária é uma função afim (reta) em
. As constantes
serão determinadas pelas condições de contorno de cada item.
Dica prática rápida: para aplicar condições do tipo
valor, avalia-se
. Para condições do tipo
valor, usa-se
, então
. Para uma condição mista (Robin) como
, substitui-se
.
Passo 3
Condição:
e
. Para a solução estacionária
:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
Substituindo
:
Portanto a solução estacionária é
Passo 4
Condição:
e
. Para
:
- Da condição de derivada em
:
- Da condição em
:
Com
segue
.
Portanto a solução estacionária é a função zero:
Observação física simples: com fluxo nulo na esquerda (
) e temperatura zero em
, a distribuição estacionária fica em zero em todo o segmento.
Passo 5
Condição:
e
. Para
:
- Da derivada em
:
- Da condição em
:
Com
segue
.
Portanto a solução estacionária é constante e igual a
:
Intuição: fluxo zero na esquerda e temperatura fixa
na direita resulta numa solução constante igual a
.
Passo 6
Condição:
(condição mista / Robin na esquerda) e
.
Para
temos
e
. A condição Robin dá:
A condição em
dá
Substituindo
:
Logo
.
A solução estacionária é
Interpretação curta: a condição Robin relaciona o gradiente com a própria temperatura na fronteira, produzindo uma reta que passa por
com valor zero (se estendida), daí o fator
.
Resposta
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