Nos problemas de 1 a 3, é dada uma função f\) em um intervalo de comprimento \(L\). Em cada caso, esboce os gráficos das extensões par e ímpar de \(f\) de período \(2 L\).
(1) \(f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leq x<2, \\\\ 1, & 2 \leq x<3\end{cases}
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados cada item dá.
O pedido geral: para cada função dada em um intervalo de comprimento [L), construir (esboçar) a extensão par e a extensão ímpar de período 2L. Ou seja, primeiro construir a função no intervalo fundamental (-L,L) como par ou ímpar, e depois repetir esse padrão com período 2L para toda a reta.
Agora os dados de cada item (peguei os intervalos do enunciado):
O que será feito para cada caso: (i) construir a extensão par em (-L,L) usando simetria f_{\text{par}}(x)=f(|x|); (ii) construir a extensão ímpar em (-L,L) usando antissimetria f_{\text{ímpar}}(x)=\operatorname{sgn}(x)\,f(|x|) (com f_{\text{ímpar}}(0)=0); (iii) indicar como repetir com período 2L. Não será pedido valor exato nos pontos isolados (como x= \pm L ou x=0) porque isso não altera o esboço.]
Passo 2
Breve explicação didática do método (a “aula rápida” para usar na prova).
Extensão par: a ideia é fazer a função simétrica em relação ao eixo y. Para todo x\in(-L,0) define-se
f_{\text{par}}(x)=f(-x)=f(|x|).
No intervalo [0,L) a função permanece a mesma. Depois, para tornar periódica de período 2L, repete-se o bloco (-L,L] deslocando de 2L em 2L.
Extensão ímpar: a ideia é fazer a função anti-simétrica em relação à origem. Para todo x\in(-L,0) define-se
f_{\text{ímpar}}(x)=-f(-x)=-f(|x|),
e toma-se f_{\text{ímpar}}(0)=0. No intervalo [0,L) a função permanece a mesma. Em seguida repete-se o padrão com período 2L.
Importante na prática:
Para construir as fórmulas, basta refletir os trechos de 0\le x<L para x<0 trocando x por -x e, no caso ímpar, multiplicar por -1.
Pontos isolados (valores em fronteiras) podem ser definidos para garantir periodicidade, mas não mudam o esboço.
Depois de obter a função em (-L,L) escreva que a função é periódica de período 2L e que se repete para todo x conforme f(x+2L)=f(x).
Extensão par no intervalo (-3,3)\]:
- Para \[x com 0\le x<2 tem-se f(x)=x (trecho crescente com inclinação 1).
- Para x com 2\le x<3 tem-se f(x)=1 (trecho constante).
- Para x<0 usa-se f_{\text{par}}(x)=f(-x). Logo, em (-3, -2) temos -x\in(2,3) e f(-x)=1, então f_{\text{par}}(x)=1 em (-3,-2). Em (-2,0) temos -x\in(0,2) e f(-x)=-x, então f_{\text{par}}(x)=-x em (-2,0).
- Resumindo a extensão par no intervalo principal (-3,3):
Extensão par em (-2,2)\]:
- Para \[0\le x<1, f(x)=0.
- Para 1\le x<2, f(x)=x-1 (reta que parte de 0 em x=1 e cresce até 1 em x=2).
- Para x<0, f_{\text{par}}(x)=f(-x). Assim em (-1,0) tem f(-x)=0 então f_{\text{par}}(x)=0. Em (-2,-1) tem -x\in(1,2) então f(-x)=-x-1 e f_{\text{par}}(x)=-x-1.
- Resumindo no intervalo (-2,2):
Extensão ímpar em (-2,2)\):
- Para \(x<0\) usar \(f_{\text{ímpar}}(x)=-f(-x)\).
- Em \((-1,0)\): \(f(-x)=0\) então \(f_{\text{ímpar}}(x)=0\).
- Em \((-2,-1)\): \(f(-x)=-x-1\) então \(f_{\text{ímpar}}(x)=-(-x-1)=x+1\).
- Para \(0\le x<1\): \(f_{\text{ímpar}}(x)=0\); para \(1\le x<2\): \(f_{\text{ímpar}}(x)=x-1\).
- Resumindo:
\[f_{\text{ímpar}}(x)=\begin{cases} x+1, & -2<x<-1,\\[4pt] 0, & -1\le x<1,\\[4pt] x-1, & 1\le x<2, \end{cases}
com f_{\text{ímpar}}(0)=0\]. Observe que a parte central \(-1\le x\le1 é nula; a função ímpar tem saltos nas bordas x=\pm1 em geral.
Periodicidade: repetir com período 4.]
Passo 5
Resolver o item (3), passo a passo.
Dados: L=2\) e
\[f(x)=2-x,\quad 0<x<2.
(A função não está definida em x=0 e x=2 no enunciado; para as extensões se escolhe o valor natural quando necessário — por exemplo f(0)=2 e f(2)=0 — mas isso só altera pontos isolados.)
Extensão par em (-2,2):
Para 0<x<2: f(x)=2-x.
Para -2<x<0: f_{\text{par}}(x)=f(-x)=2-(-x)=2+x.
Portanto, no intervalo (-2,2) a extensão par é a “ponta de flecha” simétrica:
e f_{\text{ímpar}}(0)=0\] (observe que aqui há uma descontinuidade em \(0 porque os lados laterais valem \pm 2, mas a definição ímpar exige 0 na origem).
Periodicidade: repetir com período 4.]
Resposta
(1) Extensão par de período 6\):
\[f_{\text{par}}(x)=\begin{cases} 1, & -3<x<-2,\\[4pt] -x, & -2\le x<0,\\[4pt] x, & 0\le x<2,\\[4pt] 1, & 2\le x<3, \end{cases} \quad\text{e repetir com período }6.
(1) Extensão ímpar de período (6]: f_{\text{ímpar}}(x)=\begin{cases} -1, & -3<x<-2,\\[4pt] x, & -2\le x<0,\\[4pt] x, & 0\le x<2,\\[4pt] 1, & 2\le x<3, \end{cases} \quad\text{e repetir com período }6.íí
(2) Extensão par de período 4\):
\[f_{\text{par}}(x)=\begin{cases} -x-1, & -2<x<-1,\\[4pt] 0, & -1\le x<1,\\[4pt] x-1, & 1\le x<2, \end{cases} \quad\text{e repetir com período }4.
(2) Extensão ímpar de período (4]: f_{\text{ímpar}}(x)=\begin{cases} x+1, & -2<x<-1,\\[4pt] 0, & -1\le x<1,\\[4pt] x-1, & 1\le x<2, \end{cases} \quad\text{e repetir com período }4.íí
(3) Extensão par de período 4\):
\[f_{\text{par}}(x)=\begin{cases} 2+x, & -2<x<0,\\[4pt] 2-x, & 0\le x<2, \end{cases} \quad\text{e repetir com período }4.
(3) Extensão ímpar de período (4]: f_{\text{ímpar}}(x)=\begin{cases} -2-x, & -2<x<0,\\[4pt] 2-x, & 0\le x<2, \end{cases} \quad\text{e repetir com período }4.íí]