(2 pontos) Considere a função f(x)=llraizx sin (1x)+a^2 & x>0 x^2+3 x+4 & x<0
Encontre os valores de a para os quais f(x) seja contínua em R.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= raizx,sinl(tfrac1xr)+a^2,&x>0, x^2+3x+4,&x<0,
e pede para f ser contínua em R. Como não há definição em x=0, o único ponto crítico é x=0. Para que possamos “colar” as duas peças de forma contínua, precisamos que
limxto0^-f(x) ;=; limxto0^+f(x)

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda:
limxto0^-f(x) =limxto0^-l(x^2+3x+4r) =0+0+4 =4

Passo 3

Calcular o limite pela direita: note que sin(1/x) fica entre -1 e 1, então
0<=l|raizx,sinl(tfrac1xr)r|<=raizx
e raizxto0. Logo
limxto0^+raizx,sinl(tfrac1xr)=0 implies limxto0^+f(x) =0+a^2 =a^2

Passo 4

Para continuidade em 0 precisamos
limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x) Longrightarrow 4=a^2,
cuja solução é
a=2 ou a=-2

Resposta

a=2 ou a=-2.

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