In each of Problems 11 through 28 find the general solution of the given differential equation.
y^(4)-8 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
y^(4) - 8,y' = 0
Como é uma ODE linear homogênea de ordem 4, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Associamos à ODE o polinômio característico procurando soluções da forma y=e^rx. Substituindo na equação, obtemos
r^4 e^rx - 8,r e^rx = 0 Longrightarrow r^4 - 8r = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
r^4 - 8r = r,(r^3 - 8) = 0
Daí vêm as raízes
r=0 e r^3 = 8 ;Longrightarrow; r = 2,e^i,2pi k/3,;k=0,1,2
Isso dá as raízes reais e complexas:
r1 = 0, r2 = 2, r3,4 = -1 pm iraiz3

Passo 4

Cada raiz gera uma solução fundamental:
  • Para r1=0: y1(x)=e^0cdot x=1
  • Para r2=2: y2(x)=e^2x
  • Para r3,4=-1pm iraiz3: as soluções reais correspondentes são
y3(x)=e^-xcosl(raiz3,xr), y4(x)=e^-xsinl(raiz3,xr)

Passo 5

Como a ODE é linear e homogênea, a combinação linear dos quatro modos forma a solução geral:
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x) + C3,y3(x) + C4,y4(x)

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2,e^2x + e^-xl(C3cos(raiz3,x) + C4sin(raiz3,x)r),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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