In each of Problems 11 through 28 find the general solution of the given differential equation.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem
com coeficientes constantes
Como é uma ODE linear homogênea de ordem
, vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
Associamos à ODE o polinômio característico procurando soluções da forma
. Substituindo na equação, obtemos
Passo 3
Fatoramos o polinômio:
Daí vêm as raízes
Isso dá as raízes reais e complexas:
Passo 4
Cada raiz gera uma solução fundamental:
- Para
: - Para
: - Para
: as soluções reais correspondentes são
Passo 5
Como a ODE é linear e homogênea, a combinação linear dos quatro modos forma a solução geral:
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.