(2 pontos) Considere a função f(x)=2^2 x-8.2^x-1+3.
a) Encontre o domínío de f e os valor se x para os quais f(x)=0.
b) Encontre a imagem de f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2^2x-8cdot2^x-1+3
e pede: (a) o domínio de f e os valores de x tais que f(x)=0; (b) a imagem de f.
Para resolver usamos propriedades de exponenciais e transformamos em um polinômio quadrático via a substituição y=2^x.

Passo 2

Como 2^x está definida para todo xinR, a combinação
2^2x,2^x-1
também está definida para todo real. Logo o domínio de f é
R

Passo 3

Para achar as raízes de f, façamos a mudança de variável
y = 2^x>0
Então
2^2x=(2^x)^2=y^2, 2^x-1=2^xcdot2^-1=y2,
e
f(x)=y^2-8cdoty2+3 =y^2-4y+3

Passo 4

O polinômio y^2-4y+3 fatoriza em
y^2-4y+3=(y-1)(y-3),
logo as raízes em y são y=1 e y=3. Voltando para x, resolvemos
2^x=1implies x=0, 2^x=3implies x=log2 3

Passo 5

Para a imagem, note que f em termos de y=2^x é um quadrático para y>0 com ramo para cima (coeficiente de y^2 positivo). Seu vértice ocorre em
y=42=2,
e o valor mínimo é
fmin=2^2-4cdot2+3=4-8+3=-1
Como y=2^x atinge 2 em x=1, o mínimo de f é -1 e não há teto superior. Logo a imagem é
[-1,infty)

Resposta

(a) Dom,f=R. As soluções de f(x)=0 são x=0 e x=log2 3.
(b) Im,f=[-1,infty).

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