(2 pontos) Considere a função vetorial f(t)=\left(t^{2}-\cos (2 t), 3 t \cdot \operatorname{sen}(2 t), \frac{t^{2}-2 t}{2 t-4}\right)
a) Determine o domínio de f
b) Calcule f^{\prime}(t)
c) Calcule \lim _{t \rightarrow 2} f(t)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
f(t)=\bigl(t^{2}-\cos(2t),\;3t\cdot\sin(2t),\;\tfrac{t^{2}-2t}{2t-4}\bigr).
As perguntas são:
(a) determinar o domínio de f;
(b) calcular f'(t);
(c) calcular \displaystyle\lim_{t\to 2} f(t).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As duas primeiras componentes, t^{2}-\cos(2t) e 3t\sin(2t), são combinações de polinômios e funções trigonométricas, que estão definidas para todo t\in\mathbb{R}.
  • A terceira componente é uma razão \dfrac{t^{2}-2t}{2t-4}; há risco de divisão por zero quando 2t-4=0, isto é, possivelmente t=2.
  • Portanto há uma possível restrição de domínio em t=2. A determinação do domínio precisa confirmar isso.

Passo 2

Encontrar o domínio de f: analisar onde cada componente está definida e tomar a interseção.
Para a primeira componente t^{2}-\cos(2t):
\text{definida para todo }t\in\mathbb{R}.
Para a segunda componente 3t\sin(2t):
\text{definida para todo }t\in\mathbb{R}.
Para a terceira componente \dfrac{t^{2}-2t}{2t-4}: a expressão só é proibida quando o denominador é zero. Então impomos
2t-4\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad t\neq 2.
Não há outras restrições (o numerador é polinomial).
Conclui-se que o domínio de f é o conjunto de todos os reais exceto 2. Em notação:
\operatorname{Dom}(f)=\{t\in\mathbb{R}\mid t\neq 2\}.

Passo 3

Preparação para derivar: regras que serão usadas (explicadas de forma direta).
  • Regra da derivada de uma soma: \dfrac{d}{dt}(u+v)=u'+v'.
  • Derivada de polinômio: \dfrac{d}{dt}(t^{n})=n t^{\,n-1}.
  • Derivada do cosseno e seno (cadeia): \dfrac{d}{dt}\cos(g(t))=-\sin(g(t))\cdot g'(t) e \dfrac{d}{dt}\sin(g(t))=\cos(g(t))\cdot g'(t).
    Aqui a função interna será g(t)=2t com g'(t)=2.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • Regra do quociente: \dfrac{d}{dt}\!\left[\dfrac{u(t)}{v(t)}\right]=\dfrac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{[v(t)]^{2}}, válida quando v(t)\neq 0.
Vamos aplicar essas regras componente a componente.

Passo 4

Derivada da primeira componente x_1(t)=t^{2}-\cos(2t).
Calcule termo a termo:
  • \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.
  • \dfrac{d}{dt}\cos(2t)=-\sin(2t)\cdot 2=-2\sin(2t).
Como a componente é t^{2}-\cos(2t), tem-se
x_1'(t)=2t - \bigl(-2\sin(2t)\bigr)=2t+2\sin(2t).

Passo 5

Derivada da segunda componente x_2(t)=3t\sin(2t).
Aplicando a regra do produto com u(t)=3t e v(t)=\sin(2t):
  • u'(t)=3.
  • v'(t)=\cos(2t)\cdot 2=2\cos(2t) pela regra da cadeia.
Portanto
x_2'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=3\sin(2t)+3t\cdot 2\cos(2t)=3\sin(2t)+6t\cos(2t).
(ou, fatorando, 3\bigl(\sin(2t)+2t\cos(2t)\bigr).)

Passo 6

Derivada da terceira componente x_3(t)=\dfrac{t^{2}-2t}{2t-4} usando a regra do quociente.
Defina u(t)=t^{2}-2t e v(t)=2t-4. Então
u'(t)=2t-2,\qquad v'(t)=2.
Aplicando a fórmula do quociente:
x_3'(t)=\dfrac{(2t-2)(2t-4)-(t^{2}-2t)\cdot 2}{(2t-4)^{2}}.
Agora simplificar o numerador passo a passo:
(2t-2)(2t-4)=4t^{2}-12t+8,
(t^{2}-2t)\cdot 2=2t^{2}-4t.
Subtraindo:
4t^{2}-12t+8-(2t^{2}-4t)=2t^{2}-8t+8.
Fatorando:
2t^{2}-8t+8=2\bigl(t^{2}-4t+4\bigr)=2(t-2)^{2}.
O denominador é
(2t-4)^{2}=4(t-2)^{2}.
Portanto, para t\neq 2 (domínio da derivada via quociente),
x_3'(t)=\dfrac{2(t-2)^{2}}{4(t-2)^{2}}=\dfrac{1}{2}.
Observe que a simplificação anulou o fator (t-2)^{2}, então para todo t\neq 2 a derivada da terceira componente é a constante \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Juntando as derivadas das três componentes, a derivada vetorial f'(t) (para t\neq 2, que é o domínio de f) é
f'(t)=\bigl(2t+2\sin(2t),\;3\sin(2t)+6t\cos(2t),\;{\tfrac{1}{2}}\bigr).

Passo 8

Calcular o limite \displaystyle\lim_{t\to 2} f(t).
Analisar componente a componente.
Primeira componente:
\lim_{t\to 2}\bigl(t^{2}-\cos(2t)\bigr)=2^{2}-\cos(4)=4-\cos(4),
porque polinômios e \cos são contínuos e pode-se substituir t=2.
Segunda componente:
\lim_{t\to 2}3t\sin(2t)=3\cdot 2\cdot \sin(4)=6\sin(4),
novamente por continuidade.
Terceira componente: a expressão original tem forma indeterminada quando t=2 porque o denominador zera. Fazemos fatoração para simplificar (válido para t\neq 2):
\frac{t^{2}-2t}{2t-4}=\frac{t(t-2)}{2(t-2)}=\frac{t}{2}\qquad\text{(para }t\neq 2\text{)}.
Portanto o limite existe e é
\lim_{t\to 2}\frac{t^{2}-2t}{2t-4}=\lim_{t\to 2}\frac{t}{2}=\frac{2}{2}=1.
Assim o limite vetorial é
\lim_{t\to 2}f(t)=\bigl(4-\cos(4),\;6\sin(4),\;1\bigr).

Resposta

(a) \operatorname{Dom}(f)=\{t\in\mathbb{R}\mid t\neq 2\}
(b) f'(t)=\bigl(2t+2\sin(2t),\;3\sin(2t)+6t\cos(2t),\;\tfrac{1}{2}\bigr)
(c) \displaystyle\lim_{t\to 2}f(t)=\bigl(4-\cos(4),\;6\sin(4),\;1\bigr)

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