(2 pontos) Considere a função vetorial
a) Determine o domínio de
b) Calcule
c) Calcule
a) Determine o domínio de
b) Calcule
c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
As perguntas são:
(a) determinar o domínio de ;
(b) calcular ;
(c) calcular .
(a) determinar o domínio de
(b) calcular
(c) calcular
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As duas primeiras componentes,
e , são combinações de polinômios e funções trigonométricas, que estão definidas para todo . - A terceira componente é uma razão
; há risco de divisão por zero quando , isto é, possivelmente . - Portanto há uma possível restrição de domínio em
. A determinação do domínio precisa confirmar isso.
Passo 2
Encontrar o domínio de
: analisar onde cada componente está definida e tomar a interseção.
Para a primeira componente
:
Para a segunda componente
:
Para a terceira componente
: a expressão só é proibida quando o denominador é zero. Então impomos
Não há outras restrições (o numerador é polinomial).
Conclui-se que o domínio de
é o conjunto de todos os reais exceto
. Em notação:
Passo 3
Preparação para derivar: regras que serão usadas (explicadas de forma direta).
- Regra da derivada de uma soma:
. - Derivada de polinômio:
. - Derivada do cosseno e seno (cadeia):
e .
Aqui a função interna serácom . - Regra do produto:
. - Regra do quociente:
, válida quando .
Vamos aplicar essas regras componente a componente.
Passo 4
Derivada da primeira componente
.
Calcule termo a termo:
-
. -
.
Como a componente é
, tem-se
Passo 5
Derivada da segunda componente
.
Aplicando a regra do produto com
e
:
-
. -
pela regra da cadeia.
Portanto
(ou, fatorando,
.)
Passo 6
Derivada da terceira componente
usando a regra do quociente.
Defina
e
. Então
Aplicando a fórmula do quociente:
Agora simplificar o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Fatorando:
O denominador é
Portanto, para
(domínio da derivada via quociente),
Observe que a simplificação anulou o fator
, então para todo
a derivada da terceira componente é a constante
.
Passo 7
Juntando as derivadas das três componentes, a derivada vetorial
(para
, que é o domínio de
) é
Passo 8
Calcular o limite
.
Analisar componente a componente.
Primeira componente:
porque polinômios e
são contínuos e pode-se substituir
.
Segunda componente:
novamente por continuidade.
Terceira componente: a expressão original tem forma indeterminada quando
porque o denominador zera. Fazemos fatoração para simplificar (válido para
):
Portanto o limite existe e é
Assim o limite vetorial é
Resposta
(a)
(b)
(c)