Determine as derivadas parciais
e
das funções de três variáveis.
Passo 1
O enunciado dá a função de três variáveis (peguei a expressão do enunciado):
Pede-se as derivadas parciais
Passo 2
Entendendo o que é derivada parcial (rapidinho e de forma prática).
- A derivada parcial de
em relação a significa: derivar tratando e como constantes. - Analogamente para as derivadas em relação a
e .
Ferramentas que vamos usar:
- Regra da cadeia para funções compostas: se
então
Aqui
é a função externa (no nosso caso
) e
é a função interna (no nosso caso
).
- Derivada da função cosseno: para
vale
- Derivada de um produto quando um dos fatores é a variável de diferenciação e os outros são tratados como constantes: por exemplo, se
, então tratando e constantes,
(De forma parecida,
e
.)
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para
.
Colocando
e
, pela regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtemos
Ou escrevendo de forma limpa:
Passo 4
Agora
. Mesma ideia: tratar
e
como constantes.
Pela regra da cadeia:
Sabendo que
, segue
Passo 5
Agora
. Igualzinho: tratar
e
como constantes.
Pela regra da cadeia e
, temos
Passo 6
Pequena verificação prática para fixar: se quiser avaliar, por exemplo, em
,
então
, logo todas as três derivadas parciais valem zero naquele ponto — é um cheque rápido e intuitivo.
Passo 7
Dicas para a prova (rápidas e amigas):
- Identifique a função externa (
) e interna ( ). Use sempre a regra da cadeia. - Ao derivar a parte interna, trate as outras variáveis como constantes (por exemplo, derive
e mantenha e ). - Evite trocar a ordem: derive primeiro a função externa (ainda em termos de
), depois multiplique pela derivada parcial de . - Se sobrar tempo, sempre plugue um ponto simples para checar sinais e zeros.