Determine as derivadas parciais ∂ f / ∂ x, ∂ f / ∂ y e ∂ f / ∂ z das funções de três variáveis.
g\left(x, y^{\prime} z\right)=\cos (x y z)

Passo 1

O enunciado dá a função de três variáveis (peguei a expressão do enunciado):
g(x,y,z)=\cos(xyz).
Pede-se as derivadas parciais
\frac{\partial g}{\partial x},\qquad \frac{\partial g}{\partial y},\qquad \frac{\partial g}{\partial z}.

Passo 2

Entendendo o que é derivada parcial (rapidinho e de forma prática).
  • A derivada parcial de g em relação a x significa: derivar g tratando y e z como constantes.
  • Analogamente para as derivadas em relação a y e z.
Ferramentas que vamos usar:
  1. Regra da cadeia para funções compostas: se g(x,y,z)=h(u(x,y,z)) então
\frac{\partial g}{\partial x} = h'(u(x,y,z))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui h é a função externa (no nosso caso h(t)=\cos t) e u é a função interna (no nosso caso u(x,y,z)=xyz).
  1. Derivada da função cosseno: para h(t)=\cos t vale
h'(t) = -\sin t.
  1. Derivada de um produto quando um dos fatores é a variável de diferenciação e os outros são tratados como constantes: por exemplo, se u(x,y,z)=x\cdot y\cdot z, então tratando y e z constantes,
\frac{\partial u}{\partial x}=y z.
(De forma parecida, \partial u/\partial y = x z e \partial u/\partial z = x y.)

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial g}{\partial x}.
Colocando h(t)=\cos t e u(x,y,z)=xyz, pela regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z)=h'(u(x,y,z))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo h'(t)=-\sin t e \partial u/\partial x = y z, obtemos
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z) = -\sin(xyz)\cdot (y z).
Ou escrevendo de forma limpa:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z) = -y z\,\sin(xyz).

Passo 4

Agora \dfrac{\partial g}{\partial y}. Mesma ideia: tratar x e z como constantes.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z)=h'(u(x,y,z))\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Sabendo que \partial u/\partial y = x z, segue
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z) = -\sin(xyz)\cdot (x z) = -x z\,\sin(xyz).

Passo 5

Agora \dfrac{\partial g}{\partial z}. Igualzinho: tratar x e y como constantes.
Pela regra da cadeia e \partial u/\partial z = x y, temos
\frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z) = -\sin(xyz)\cdot (x y) = -x y\,\sin(xyz).

Passo 6

Pequena verificação prática para fixar: se quiser avaliar, por exemplo, em (x,y,z)=(1,2,\pi/2),
xyz = 1\cdot 2\cdot \frac{\pi}{2} = \pi,
então \sin(xyz)=\sin\pi=0, logo todas as três derivadas parciais valem zero naquele ponto — é um cheque rápido e intuitivo.

Passo 7

Dicas para a prova (rápidas e amigas):
  • Identifique a função externa ( \cos) e interna ( xyz). Use sempre a regra da cadeia.
  • Ao derivar a parte interna, trate as outras variáveis como constantes (por exemplo, derive x e mantenha y e z).
  • Evite trocar a ordem: derive primeiro a função externa (ainda em termos de u), depois multiplique pela derivada parcial de u.
  • Se sobrar tempo, sempre plugue um ponto simples para checar sinais e zeros.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z) = -y z\,\sin(xyz)
\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(x,y,z) = -x z\,\sin(xyz)
\displaystyle \frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z) = -x y\,\sin(xyz)

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