Breve aula sobre derivadas parciais (sem pânico — é só tratar a outra variável como constante).
A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo. Para calculá-la, diferencio cada termo de f em que aparece x como se fosse uma função univariada, tomando y como constante.
Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} é obtida diferenciando em relação a y com x fixo.
Exemplos rápidos e concretos:
Se g(x,y)=x^{2}y, ao derivar em relação a x trato y como constante e obtenho \dfrac{\partial g}{\partial x}=2xy.
Se h(x,y)=\sin(x)+y^{3}, então \dfrac{\partial h}{\partial x}=\cos(x) e \dfrac{\partial h}{\partial y}=3y^{2}.
Passo 3
Agora calculo as derivadas parciais de f(x,y) termo a termo.
Termos de f:
x^{2},\quad -2xy,\quad 3y^{2},\quad x,\quad -y.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
\dfrac{\partial}{\partial x}(-2xy)=-2y (pois y é constante).
\dfrac{\partial}{\partial x}(3y^{2})=0 (não depende de x).
\dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
\dfrac{\partial}{\partial x}(-y)=0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-2y+1.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
\dfrac{\partial}{\partial y}(-2xy)=-2x.
\dfrac{\partial}{\partial y}(3y^{2})=6y.
\dfrac{\partial}{\partial y}(x)=0.
\dfrac{\partial}{\partial y}(-y)=-1.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2x+6y-1.
Passo 4
Montamos o sistema para encontrar pontos críticos, impondo que ambas as derivadas sejam zero: