Dizemos que \left(x_{0}, y_{0}\right) é um ponto crítico da função f(x, y) se
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0
(ou seja, se \left.\vec{\nabla} f\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0)\right). Determine, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo.
z=x^{2}-2 x y+3 y^{2}+x-y

Passo 1

O enunciado pede para determinar, caso existam, os pontos críticos da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2}+x-y.
Um ponto \left(x_{0},y_{0}\right) é crítico se as derivadas parciais de f em relação a x e a y se anularem simultaneamente:
\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0},y_{0}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0},y_{0}\right)=0.

Passo 2

Breve aula sobre derivadas parciais (sem pânico — é só tratar a outra variável como constante).
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando apenas x varia e y fica fixo. Para calculá-la, diferencio cada termo de f em que aparece x como se fosse uma função univariada, tomando y como constante.
  • Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} é obtida diferenciando em relação a y com x fixo.
Exemplos rápidos e concretos:
  • Se g(x,y)=x^{2}y, ao derivar em relação a x trato y como constante e obtenho \dfrac{\partial g}{\partial x}=2xy.
  • Se h(x,y)=\sin(x)+y^{3}, então \dfrac{\partial h}{\partial x}=\cos(x) e \dfrac{\partial h}{\partial y}=3y^{2}.

Passo 3

Agora calculo as derivadas parciais de f(x,y) termo a termo.
Termos de f:
x^{2},\quad -2xy,\quad 3y^{2},\quad x,\quad -y.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-2xy)=-2y (pois y é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(3y^{2})=0 (não depende de x).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-y)=0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-2y+1.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-2xy)=-2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(3y^{2})=6y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x)=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-y)=-1.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2x+6y-1.

Passo 4

Montamos o sistema para encontrar pontos críticos, impondo que ambas as derivadas sejam zero:
\begin{cases} 2x-2y+1=0,\\[4pt] -2x+6y-1=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema linear passo a passo.
Somando as duas equações:
(2x-2y+1)+(-2x+6y-1)=0+0 \quad\Rightarrow\quad 4y=0.
Logo
y=0.
Substituo y=0 em uma das equações (uso a primeira por ser simples):
2x-2\cdot 0+1=0 \quad\Rightarrow\quad 2x+1=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=-1.
Assim
x=-\tfrac{1}{2}.
Portanto encontramos o ponto crítico \left(x,y\right)=\left(-\tfrac{1}{2},0\right).]

Passo 5

Rápida lição extra (útil para a prova): classificar o ponto crítico com a matriz Hessiana.
  • A Hessiana H é a matriz das segundas derivadas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
  • Para nossa função, calcule as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=-2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=6.
Então
H=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]-2 & 6\end{pmatrix}.
  • Determinante da Hessiana:
\det H = 2\cdot 6 - (-2)^{2} = 12-4=8>0.
Como \det H>0 e \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2>0, a Hessiana é positiva definida, o que implica que o ponto crítico é um mínimo local.]

Resposta

\left(-\tfrac{1}{2},0\right)

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