(3,0 pontos) Considere o modelo IS-LM abaixo:
  • Equilíbrio no mercado de bens e serviços: Y=C+I+G;
  • Consumo: C=\alpha+\beta(Y-T+T r), 0<\beta<1;
  • Tributação: T=\eta Y, 0<\eta<1;
  • Transferências: \operatorname{Tr}=\theta Y, 0<\theta<\eta;
  • Investimento: I=-\varphi i;
  • Equilíbrio no mercado monetário: M^{s}=\rho Y-\lambda i;
  • Todos os parâmetros são estritamente positivos.
    (a) (1,0 ponto) Use a regra de Cramer para encontrar o produto, Y, e a taxa de juros, i, que equilibram a economia.
    (b) ( 1,0 ponto) Mostre como um aumento em M^{s} impacta Y e i.
    (c) (1,0 ponto ) Mostre como um aumento em \varphi impacta Y e i.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo IS–LM com incógnitas o produto Y e a taxa de juros i. As equações são: equilíbrio no mercado de bens
Y = C + I + G,
com
C = \alpha + \beta\bigl(Y - T + \operatorname{Tr}\bigr),\quad T = \eta Y,\quad \operatorname{Tr} = \theta Y,\quad I = -\varphi\,i,
e equilíbrio no mercado monetário
M^{s} = \rho\,Y - \lambda\,i.
Para resolver, iremos (i) derivar a curva IS, (ii) escrever a curva LM, (iii) montar o sistema linear em Y,i e aplicar regra de Cramer, e depois obter os efeitos de M^{s} e de \varphi.

Passo 2

Derivimos a IS substituindo C, T e \operatorname{Tr}$ em \(Y=C+I+G. Como
C = \alpha + \beta\bigl(Y - \eta Y + \theta Y\bigr) = \alpha + \beta\,(1 - \eta + \theta)\,Y,
temos
Y = \alpha + \beta\,(1 - \eta + \theta)\,Y \;-\;\varphi\,i \;+\;G.
Reagrupando termos em Y e em i,
\bigl[\,1 - \beta\,(1 - \eta + \theta)\bigr]\,Y \;+\;\varphi\,i =\alpha + G.
Denotamos
A_{1} = 1 - \beta\,(1 - \eta + \theta), \qquad B_{1} = \varphi, \qquad C_{1} = \alpha + G,
para escrever IS como
A_{1}\,Y + B_{1}\,i = C_{1}.)

Passo 3

A curva LM é dada por
M^{s} = \rho\,Y - \lambda\,i,
ou equivalentemente
\rho\,Y \;+\;(-\lambda)\,i = M^{s}.
Denotamos
A_{2} = \rho,\quad B_{2} = -\lambda,\quad C_{2} = M^{s},
de modo que LM fica
A_{2}\,Y + B_{2}\,i = C_{2}.

Passo 4

O sistema linear em Y,i é
\begin{cases} A_{1}\,Y + B_{1}\,i = C_{1},\\[6pt] A_{2}\,Y + B_{2}\,i = C_{2}. \end{cases}
Aplicando regra de Cramer, o determinante principal é
\Delta = A_{1}\,B_{2} - B_{1}\,A_{2} = -\lambda\,A_{1} \;-\;\varphi\,\rho = -\bigl[\lambda\,A_{1} + \varphi\,\rho\bigr].]

Passo 5

Pelas fórmulas de Cramer,
Y = \frac{C_{1}\,B_{2} \;-\; B_{1}\,C_{2}}{\Delta} = \frac{(\alpha + G)(-\,\lambda)\;-\;\varphi\,M^{s}} {-\bigl[\lambda\,A_{1} + \varphi\,\rho\bigr]} = \frac{\lambda(\alpha + G) \;+\; \varphi\,M^{s}} {\lambda\,A_{1} + \varphi\,\rho},
i = \frac{A_{1}\,C_{2} \;-\; C_{1}\,A_{2}}{\Delta} = \frac{A_{1}\,M^{s} \;-\; \rho\,(\alpha + G)} {-\bigl[\lambda\,A_{1} + \varphi\,\rho\bigr]} = \frac{\rho(\alpha + G)\;-\;A_{1}\,M^{s}} {\lambda\,A_{1} + \varphi\,\rho}.

Passo 6

Para um aumento de M^{s} calculamos
\frac{\partial Y}{\partial M^{s}} = \frac{\varphi}{\lambda\,A_{1} + \varphi\,\rho} >0, \qquad \frac{\partial i}{\partial M^{s}} = -\,\frac{A_{1}}{\lambda\,A_{1} + \varphi\,\rho} <0.

Passo 7

Para um aumento de \varphi obtém–se
\frac{\partial Y}{\partial \varphi} = -\,\frac{\lambda\bigl[\rho(\alpha+G)-A_{1}M^{s}\bigr]} {\bigl(\lambda\,A_{1} + \varphi\,\rho\bigr)^{2}} <0,
\frac{\partial i}{\partial \varphi} = -\,\frac{\rho\bigl[\rho(\alpha+G)-A_{1}M^{s}\bigr]} {\bigl(\lambda\,A_{1} + \varphi\,\rho\bigr)^{2}} <0.

Resposta

(a)
Y = \frac{\lambda(\alpha + G) + \varphi\,M^{s}} {\lambda\bigl[1 - \beta\,(1 - \eta + \theta)\bigr] + \varphi\,\rho},\quad i = \frac{\rho(\alpha + G) - \bigl[1 - \beta\,(1 - \eta + \theta)\bigr]\,M^{s}} {\lambda\bigl[1 - \beta\,(1 - \eta + \theta)\bigr] + \varphi\,\rho}.
(b)
\frac{\partial Y}{\partial M^{s}} = \frac{\varphi} {\lambda\bigl[1 - \beta\,(1 - \eta + \theta)\bigr] + \varphi\,\rho}>0, \quad \frac{\partial i}{\partial M^{s}} = -\frac{1 - \beta\,(1 - \eta + \theta)} {\lambda\bigl[1 - \beta\,(1 - \eta + \theta)\bigr] + \varphi\,\rho}<0.
(c)
\frac{\partial Y}{\partial \varphi} = -\,\frac{\lambda\bigl[\rho(\alpha+G)-(1-\beta(1-\eta+\theta))M^{s}\bigr]} {\bigl[\lambda(1-\beta(1-\eta+\theta))+\varphi\rho\bigr]^{2}}<0,
\frac{\partial i}{\partial \varphi} = -\,\frac{\rho\bigl[\rho(\alpha+G)-(1-\beta(1-\eta+\theta))M^{s}\bigr]} {\bigl[\lambda(1-\beta(1-\eta+\theta))+\varphi\rho\bigr]^{2}}<0.

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