As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}x & 4 & 3 \\\\ 2 & 6 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}x & 4 & 3 \\[6pt] 2 & 6 & y\end{pmatrix}
de um sistema A\,\mathbf{u}=\mathbf{b} em três incógnitas e duas equações, e pede os valores de x e y para os quais o sistema tem, conforme \mathbf{b}, ou nenhuma solução ou infinitas soluções. O conteúdo necessário é o conceito de posto da matriz e sua relação com existência e quantidade de soluções.]

Passo 2

Para um sistema m\times n com m<n ter “0 ou infinitas soluções” conforme \mathbf{b}, é preciso que
\rank(A)=m=2< n=3.
Nesse caso, se \mathbf{b} pertencer à imagem de A o sistema é consistente e, como 2<3, há infinitas soluções; se \mathbf{b} não estiver na imagem de A, o sistema é inconsistente (0 soluções).

Passo 3

Logo, precisamos que as duas linhas de A sejam linearmente independentes, ou seja, não exista escalar k tal que
(x,4,3)=k\,(2,6,y).
Escrevendo coordenada a coordenada:
x=2k,\quad 4=6k,\quad 3=y\,k.
Da segunda igualdade vem k=\tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3}. Substituindo nas outras, obteríamos
x=2\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3}, \qquad 3=y\cdot\tfrac{2}{3}\implies y=\tfrac{9}{2}.
Portanto as linhas são dependentes somente se x=\tfrac{4}{3} e y=\tfrac{9}{2}. Em qualquer outro caso, elas são independentes e \rank(A)=2.

Passo 4

Concluímos que o sistema tem 0 ou infinitas soluções, dependendo de \mathbf{b}, para todos os valores de x,y exceto quando
x=\tfrac{4}{3} \quad\text{e}\quad y=\tfrac{9}{2},
pois nesse único par \rank(A)=1 e o sistema pode ter 0 ou infinitas soluções mas não na forma “0 ou infinitas conforme \mathbf{b}” (pois aí sempre haveria infinitas soluções para todo \mathbf{b} compatível).

Resposta

O sistema apresenta 0 ou infinitas soluções conforme \mathbf{b} para todos os x,y tais que
(x,y)\neq\Bigl(\tfrac{4}{3},\tfrac{9}{2}\Bigr).

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