UESTÃO 2: Faça uma pesquisa e responda as seguintes questões abaixo:
MA: EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO no espaço vetorial
(10 PONTOS)
a) Qual o papel dos vetores na equação vetorial de um plano? Explique de uma forma geral quais elementos são necessários para obter a equação vetorial de um plano.
MA: EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO no espaço vetorial
a) Qual o papel dos vetores na equação vetorial de um plano? Explique de uma forma geral quais elementos são necessários para obter a equação vetorial de um plano.
Passo 1
O enunciado pede para explicar qual o papel dos vetores na equação vetorial de um plano em
e quais elementos são necessários para construí-la. O conteúdo envolve formar uma expressão que gere todos os pontos de um plano a partir de vetores.
Passo 2
Para definir um plano de forma vetorial, precisamos de dois tipos de vetores:
- Um vetor posição
, que corresponde a um ponto qualquer do plano. - Dois vetores diretores
e , que sejam linearmente independentes e fiquem contidos no plano.
Passo 3
Com esses elementos, a equação vetorial paramétrica do plano é dada por
onde
e
são parâmetros reais que, ao variar, percorrem todo o plano.
Passo 4
Explicando o papel de cada vetor:
-
fixa a localização do plano no espaço, indicando um ponto de origem. -
e definem as direções e a “extensão” do plano, pois qualquer combinação linear gera um vetor que sai de e permanece no plano. - Os parâmetros
e controlam a combinação linear desses vetores diretores, permitindo atingir todo e qualquer ponto do plano.
Resposta
Para obter a equação vetorial de um plano em
, é necessário um vetor posição
(que indica um ponto no plano) e dois vetores diretores
linearmente independentes (que definem a orientação do plano). A forma geral é
onde
e
são parâmetros reais.