UESTÃO 2: Faça uma pesquisa e responda as seguintes questões abaixo:
MA: EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO no espaço vetorial \mathbb{R}^{3} (10 PONTOS)
a) Qual o papel dos vetores na equação vetorial de um plano? Explique de uma forma geral quais elementos são necessários para obter a equação vetorial de um plano.

Passo 1

O enunciado pede para explicar qual o papel dos vetores na equação vetorial de um plano em \mathbb{R}^3 e quais elementos são necessários para construí-la. O conteúdo envolve formar uma expressão que gere todos os pontos de um plano a partir de vetores.

Passo 2

Para definir um plano de forma vetorial, precisamos de dois tipos de vetores:
  1. Um vetor posição \mathbf{r}_0, que corresponde a um ponto qualquer P_0 do plano.
  2. Dois vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2, que sejam linearmente independentes e fiquem contidos no plano.

Passo 3

Com esses elementos, a equação vetorial paramétrica do plano é dada por
\mathbf{r}(s,t) \;=\; \mathbf{r}_0 \;+\; s\,\mathbf{v}_1 \;+\; t\,\mathbf{v}_2,
onde s e t são parâmetros reais que, ao variar, percorrem todo o plano.

Passo 4

Explicando o papel de cada vetor:
  • \mathbf{r}_0 fixa a localização do plano no espaço, indicando um ponto de origem.
  • \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 definem as direções e a “extensão” do plano, pois qualquer combinação linear s\,\mathbf{v}_1 + t\,\mathbf{v}_2 gera um vetor que sai de P_0 e permanece no plano.
  • Os parâmetros s e t controlam a combinação linear desses vetores diretores, permitindo atingir todo e qualquer ponto do plano.

Resposta

Para obter a equação vetorial de um plano em \mathbb{R}^3, é necessário um vetor posição \mathbf{r}_0 (que indica um ponto no plano) e dois vetores diretores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 linearmente independentes (que definem a orientação do plano). A forma geral é
\mathbf{r} = \mathbf{r}_0 + s\,\mathbf{v}_1 + t\,\mathbf{v}_2,
onde s e t são parâmetros reais.

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