1. (2,5 pontos) Considere o problema de maximizar f(x, y)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{y} sujeito a x^{2}+y^{2}=50.
    (a) (0,5 ponto ) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
    (b) ( 1,0 ponto) Encontre os candidatos a solução do problema, ou seja, as soluções para as condições de primeira ordem.
    (c) (1,0 ponto) Analise as condições de segunda ordem para determinar se os pontos encontrados no item anterior são pontos de máximo, de mínimo ou de sela.

Passo 1

Temos o problema
maximizar
f(x,y) \;=\; -\frac{1}{x}\;-\;\frac{1}{y}
sujeito à restrição
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-50=0.
O conteúdo envolve:
– Verificar a qualificação de restrição (CQ) para usar Lagrange;
– Montar as condições de primeira ordem (multiplicadores de Lagrange);
– Usar o teste de segunda ordem (Hessiana da Lagrangeana restrita) para classificar os pontos.

Passo 2

Para a qualificação de restrição, basta ver que
\nabla g(x,y) = (2x,\,2y)
não se anula em nenhum ponto com x^{2}+y^{2}=50 (pois isso exigiria x=y=0, que não satisfaz a restrição). Logo, a CQ está satisfeita em toda a circunferência.

Passo 3

Escrevemos a Lagrangeana
\mathcal{L}(x,y,\lambda) = -\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \;-\;\lambda\bigl(x^{2}+y^{2}-50\bigr)
e impomos \partial\mathcal{L}/\partial x=0, \partial\mathcal{L}/\partial y=0 e g(x,y)=0.
Isso dá
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} = \frac{1}{x^{2}} - 2\lambda\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{1}{2x^{3}},
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} = \frac{1}{y^{2}} - 2\lambda\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{1}{2y^{3}}.
Comparando, 1/(2x^{3})=1/(2y^{3}) implica x^{3}=y^{3}, ou seja y=x.

Passo 4

Substituindo y=x em x^{2}+y^{2}=50 vem
2x^{2}=50 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm5,
portanto os candidatos são
(x,y)=(5,5) \quad\text{e}\quad (x,y)=(-5,-5).
Os correspondentes valores de \lambda são
\lambda=\frac{1}{2\,(5)^{3}}=\frac{1}{250} \quad\text{e}\quad \lambda=\frac{1}{2\,(-5)^{3}}=-\frac{1}{250}.

Passo 5

Para classificar, consideramos a Hessiana da Lagrangeana
\nabla^{2}\mathcal{L} = \begin{pmatrix} \frac{2}{x^{3}} - 2\lambda & 0 \\[6pt] 0 & \frac{2}{y^{3}} - 2\lambda \end{pmatrix}.
No ponto (5,5): \tfrac{2}{5^{3}}=0{,}016, \lambda=0{,}004,
então cada entrada é 0{,}016-2\cdot0{,}004=0{,}008>0.
Vetor tangente satisfaz 5v_{1}+5v_{2}=0 (por exemplo (1,-1)), e
v^{T}\nabla^{2}\mathcal{L}\,v =0{,}008\,(1^{2}+(-1)^{2})>0,
logo é mínimo restrito.
No ponto (-5,-5): \tfrac{2}{(-5)^{3}}=-0{,}016, \lambda=-0{,}004,
cada entrada é -0{,}016-2(-0{,}004)=-0{,}008<0.
Para o mesmo vetor tangente (1,-1),
v^{T}\nabla^{2}\mathcal{L}\,v =-0{,}008\,(1^{2}+(-1)^{2})<0,
logo é máximo restrito.]

Resposta

Os candidatos são (5,5) e (-5,-5). (5,5) é ponto de mínimo restrito e (-5,-5) é ponto de máximo restrito.

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