1. (Questão Bônus: 2,0 pontos) Seja A a seguinte matriz n \times n :
A=\left[\begin{array}{cccc} \lambda & 1 / 2 & \ldots & 1 / 2 \\\\ 1 / 2 & 1 / 2 & \ldots & 1 / 2 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 1 / 2 & 1 / 2 & \ldots & \lambda \end{array}\right]
Mostre que, se \lambda=\frac{1-n}{2}, então \operatorname{det}(A)=0. Dica: Se obtivermos uma matriz B somando à linha j de A um múltiplo da linha i de A, enquanto todas as demais linhas de B (exceto a jésima) são iguais às suas correspondentes em A, então \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} cujos elementos são
A_{ii}=\lambda,\quad A_{ij}=\tfrac12\\ (i\neq j),
e pede para mostrar que, se
\lambda=\frac{1-n}{2},
então \det(A)=0. O conteúdo principal é usar operações elementares de linha que preservam o determinante.

Passo 2

Usaremos a propriedade de que, se de uma matriz A obtivermos B substituindo a linha 1 por ela própria somada a um múltiplo de outra linha (ou soma de várias linhas), então \det(B)=\det(A).

Passo 3

Aplique nas linhas de A as seguintes operações, uma a uma: para cada j=2,3,\dots,n, adicione a linha j à linha 1. Chame o resultado de B. Então a linha 1 de B vale, em cada coluna k,
B_{1k} = A_{1k} \;+\;\sum_{j=2}^n A_{jk} = \lambda + \frac{n-1}{2},
pois em cada coluna há um \lambda (quando k=1) ou um \tfrac12, e somam-se n-1 termos \tfrac12.

Passo 4

Para
\lambda=\frac{1-n}{2}
temos
\lambda + \frac{n-1}{2}=0,
logo toda a linha 1 de B fica nula.

Passo 5

Como B tem uma linha inteira zero, segue-se que \det(B)=0. Mas \det(B)=\det(A) pelas operações usadas, então \det(A)=0.

Resposta

\det(A)=0 quando \lambda=\tfrac{1-n}{2}.

Exercícios relacionados