Mostre que, se \lambda=\frac{1-n}{2}, então \operatorname{det}(A)=0. Dica: Se obtivermos uma matriz B somando à linha j de A um múltiplo da linha i de A, enquanto todas as demais linhas de B (exceto a jésima) são iguais às suas correspondentes em A, então \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B).
Passo 1
O enunciado dá uma matriz A\in\mathbb{R}^{n\times n} cujos elementos são
A_{ii}=\lambda,\quad A_{ij}=\tfrac12\\ (i\neq j),
e pede para mostrar que, se
\lambda=\frac{1-n}{2},
então \det(A)=0. O conteúdo principal é usar operações elementares de linha que preservam o determinante.
Passo 2
Usaremos a propriedade de que, se de uma matriz A obtivermos B substituindo a linha 1 por ela própria somada a um múltiplo de outra linha (ou soma de várias linhas), então \det(B)=\det(A).
Passo 3
Aplique nas linhas de A as seguintes operações, uma a uma: para cada j=2,3,\dots,n, adicione a linha j à linha 1. Chame o resultado de B. Então a linha 1 de B vale, em cada coluna k,