1. (3,0 pontos) Considere o problema de maximizar f(x, y, z)=(x y)^{3}+x z sujeito a x^{2}+y^{2}=8 \mathrm{e} \ln (x z)=14.
    (a) (1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
    (b) (1,0 ponto) Encontre os candidatos a solução do problema.
    (c) (1,0 ponto) Calcule as condições de segunda ordem para identificar os pontos de máximo e de mínimo local estrito.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar
f(x,y,z) = (x y)^{3} + x z
sujeito às restrições
g_{1}(x,y,z) = x^{2} + y^{2} - 8 = 0, \quad g_{2}(x,y,z) = \ln(x z) - 14 = 0.
O método envolve multiplicadores de Lagrange, verificação da qualificação de restrições (gradientes de g_{1} e g_{2} independentes) e classificação dos candidatos via condições de segunda ordem.

Passo 2

Para a qualificação de restrição calculamos
\nabla g_{1} = (2x,\,2y,\,0), \quad \nabla g_{2} = \Bigl(\tfrac{1}{x},\,0,\,\tfrac{1}{z}\Bigr).
Em qualquer ponto viável temos x\neq0 e z\neq0, logo \nabla g_{1} e \nabla g_{2} não são múltiplos um do outro (por exemplo, \nabla g_{1} tem segunda componente não nula quando y\neq0, enquanto \nabla g_{2} tem segunda componente zero). Portanto a qualificação de restrição é satisfeita.

Passo 3

Formamos a função de Lagrange
\mathcal{L} = (x y)^{3} + x z - \lambda\,(x^{2}+y^{2}-8) - \mu\,(\ln(xz)-14).
As condições de primeira ordem são
\begin{cases} \partial_x \mathcal{L}: 3x^{2}y^{3} + z = 2\lambda x + \dfrac{\mu}{x},\\[6pt] \partial_y \mathcal{L}: 3x^{3}y^{2} = 2\lambda y,\\[6pt] \partial_z \mathcal{L}: x = \dfrac{\mu}{z}, \end{cases}
acompanhadas de x^{2}+y^{2}=8 e \ln(xz)=14.]

Passo 4

Da terceira equação segue \mu = xz.
Da primeira e segunda equações, assumindo x\neq0 e y\neq0, obtemos
3x\,y^{3} = 2\lambda, \quad 3x^{3}y = 2\lambda \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm x.
Com x^{2}+y^{2}=8 vem x^{2}=4, ou seja x=\pm2 e y=\pm2 com o mesmo ou sinal oposto. A restrição \ln(xz)=14 xz=e^{14}, então
z = \frac{e^{14}}{x}.
Isso gera quatro candidatos:
(2,2,\tfrac{e^{14}}{2}),\; (2,-2,\tfrac{e^{14}}{2}),\; (-2,-2,-\tfrac{e^{14}}{2}),\; (-2,2,-\tfrac{e^{14}}{2}).

Passo 5

Para as condições de segunda ordem calculamos a Hessiana da Lagrangeana
D^{2}\mathcal{L} = D^{2}f \;-\;\lambda\,D^{2}g_{1}\;-\;\mu\,D^{2}g_{2},
cuja forma reduzida nos candidatos leva aos elementos
H_{xx}=12\,xy+\frac{e^{14}}{4}, \quad H_{yy}=12\,xy, \quad H_{xy}=144, \quad H_{xz}=1, \quad H_{zz}=\frac{4}{e^{14}}.
Como há duas restrições, o espaço tangente é unidimensional. Um vetor tangente genérico satisfaz
x\,v_{1}+y\,v_{2}=0, \quad \frac{1}{x}\,v_{1}+\frac{1}{z}\,v_{3}=0,
isto é, podemos tomar v=(1,\,-\tfrac{x}{y},\,-\tfrac{z}{x}). A forma quadrática restrita é
Q(v)=v^{T}D^{2}\mathcal{L}\,v.

Passo 6

Avaliando Q(v) em cada candidato obtém-se
  • Para (2,2,\tfrac{e^{14}}{2}) e (-2,-2,-\tfrac{e^{14}}{2}) temos xy>0, o que dá Q(v)<0, caracterizando máximo local estrito.
  • Para (2,-2,\tfrac{e^{14}}{2}) e (-2,2,-\tfrac{e^{14}}{2}) temos xy<0, o que dá Q(v)>0, caracterizando mínimo local estrito.

Resposta

Máximos locais estritos em (2,2,\tfrac{e^{14}}{2}) e (-2,-2,-\tfrac{e^{14}}{2}).
Mínimos locais estritos em (2,-2,\tfrac{e^{14}}{2}) e (-2,2,-\tfrac{e^{14}}{2}).

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