(3,0 pontos) Considere o problema de maximizar f(x, y, z)=(x y)^{3}+x z sujeito a x^{2}+y^{2}=8 \mathrm{e} \ln (x z)=14.
(a) (1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) (1,0 ponto) Encontre os candidatos a solução do problema.
(c) (1,0 ponto) Calcule as condições de segunda ordem para identificar os pontos de máximo e de mínimo local estrito.
O método envolve multiplicadores de Lagrange, verificação da qualificação de restrições (gradientes de g_{1} e g_{2} independentes) e classificação dos candidatos via condições de segunda ordem.
Em qualquer ponto viável temos x\neq0 e z\neq0, logo \nabla g_{1} e \nabla g_{2} não são múltiplos um do outro (por exemplo, \nabla g_{1} tem segunda componente não nula quando y\neq0, enquanto \nabla g_{2} tem segunda componente zero). Portanto a qualificação de restrição é satisfeita.
Passo 3
Formamos a função de Lagrange
\mathcal{L} = (x y)^{3} + x z - \lambda\,(x^{2}+y^{2}-8) - \mu\,(\ln(xz)-14).
As condições de primeira ordem são
\begin{cases} \partial_x \mathcal{L}: 3x^{2}y^{3} + z = 2\lambda x + \dfrac{\mu}{x},\\[6pt] \partial_y \mathcal{L}: 3x^{3}y^{2} = 2\lambda y,\\[6pt] \partial_z \mathcal{L}: x = \dfrac{\mu}{z}, \end{cases}
acompanhadas de x^{2}+y^{2}=8 e \ln(xz)=14.]
Passo 4
Da terceira equação segue \mu = xz.
Da primeira e segunda equações, assumindo x\neq0 e y\neq0, obtemos
isto é, podemos tomar v=(1,\,-\tfrac{x}{y},\,-\tfrac{z}{x}). A forma quadrática restrita é
Q(v)=v^{T}D^{2}\mathcal{L}\,v.
Passo 6
Avaliando Q(v) em cada candidato obtém-se
Para (2,2,\tfrac{e^{14}}{2}) e (-2,-2,-\tfrac{e^{14}}{2}) temos xy>0, o que dá Q(v)<0, caracterizando máximo local estrito.
Para (2,-2,\tfrac{e^{14}}{2}) e (-2,2,-\tfrac{e^{14}}{2}) temos xy<0, o que dá Q(v)>0, caracterizando mínimo local estrito.
Resposta
Máximos locais estritos em (2,2,\tfrac{e^{14}}{2}) e (-2,-2,-\tfrac{e^{14}}{2}).
Mínimos locais estritos em (2,-2,\tfrac{e^{14}}{2}) e (-2,2,-\tfrac{e^{14}}{2}).