As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b_{1}=\ldots=b_{m}=0, e (ii) para um lado direito geral b_{1}, \ldots, b_{m} ? \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 5 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 5 & 4\end{pmatrix}
e pede o número de soluções do sistema A x = b em dois casos:
(i) sistema homogêneo b_{1}=b_{2}=0 e
(ii) sistema não homogêneo com b_{1},b_{2} genéricos. Vamos usar determinante e posto de matriz.
Como \det(A)\neq0, segue que o posto de A é o máximo possível, isto é,
\operatorname{rank}(A)=2,
igual ao número de incógnitas n=2.
Passo 4
Para o sistema homogêneo A x = 0, posto igual a n implica que a única solução é a solução trivial
x = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Passo 5
Para o sistema não homogêneo A x = b com vetor b qualquer, posto igual ao número de equações também garante que o sistema é sempre compatível e possui exatamente uma solução.
Resposta
(i) No caso homogêneo, existe única solução trivial x=0.
(ii) Para qualquer lado direito genérico, existe exatamente uma solução.