1. (2,0 pontos) Considere S: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow M_{3 \times 1}(\mathbb{R}) a transformação linear dada por S(x, y, z)= \left(\begin{array}{c}y+2 z \\\ x-y \\\ x+z\end{array}\right). Verifique que S é um isomorfismo e determine S^{-1}\left(\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear S:\mathbb{R}^3\to M_{3\times1}(\mathbb{R}) definida por
S(x,y,z)=\begin{pmatrix}y+2z\\[4pt] x-y\\[4pt] x+z\end{pmatrix}.
O que se pede:
  • Verificar que S é um isomorfismo.
  • Determinar S^{-1}\!\left(\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}\right) (ou seja, escrever a antimagem de um vetor genérico da imagem).
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula explícita de S que relaciona as coordenadas de entrada (x,y,z) com as coordenadas da imagem.]

Passo 2

Vou construir a matriz de S relativa às bases canônicas (ou seja, escrevo S como uma multiplicação matricial). Para isso calculo S nas três bases canônicas de \mathbb{R}^3:
  • S(1,0,0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},
  • S(0,1,0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},
  • S(0,0,1)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Colocando essas colunas em uma matriz, obtemos a matriz de S:
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
de modo que para todo (x,y,z) se tem
S\!\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora verifico se A é invertível. Calculo o determinante de A. Usando a fórmula do determinante para matriz 3\times3,
\det(A)=0\cdot\big((-1)\cdot1-0\cdot0\big)-1\cdot\big(1\cdot1-0\cdot1\big)+2\cdot\big(1\cdot0-(-1)\cdot1\big).
Calculando cada termo:
\det(A)=0 - 1\cdot(1-0) + 2\cdot(0-(-1)) = -1 + 2\cdot1 = -1 + 2 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível. Explicação didática curta: em espaços vetoriais de dimensão finita, uma transformação linear é um isomorfismo se, e somente se, sua matriz em bases canônicas é invertível. Portanto S é um isomorfismo.

Passo 4

Agora preciso encontrar S^{-1}\). Método: seja \(\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\\[4pt]w\end{pmatrix}\) um vetor qualquer na imagem (uso \(u,v,w\) para não confundir com os \(x,y,z\) usados antes). Queremos expressar \((x,y,z)\) em função de \((u,v,w)\) resolvendo o sistema linear \[\begin{cases} u = y + 2z,\\[4pt] v = x - y,\\[4pt] w = x + z. \end{cases}
Vou resolver passo a passo:
  1. Da terceira equação temos x = w - z\]. 2. Substituindo em \(v = x - y obtemos v = (w - z) - y, isto é
y = w - z - v.
  1. Substituindo essa expressão de y na primeira equação u = y + 2z:
u = (w - z - v) + 2z = w - v + z.
  1. Isolando z vem
z = u - w + v.
  1. Com z conhecido, voltamos às fórmulas já obtidas:
y = w - z - v = w - (u - w + v) - v = 2w - u - 2v,
x = w - z = w - (u - w + v) = 2w - u - v.]

Passo 5

Portanto, em função das coordenadas (u,v,w) da imagem, a antimagem é
S^{-1}\!\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\\[4pt]w\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2w - u - v\\[4pt]2w - u - 2v\\[4pt]u - w + v\end{pmatrix}.
Se o enunciado pede explicitamente S^{-1}\!\left(\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}\right) trocando nomes (ou seja, interpretando os componentes da entrada da inversa como x,y,z), basta renomear u\mapsto x,\;v\mapsto y,\;w\mapsto z. Assim, usando a mesma notação do enunciado para o vetor de entrada da inversa, obtém-se a fórmula final abaixo.]

Resposta

S é um isomorfismo (a matriz associada tem \det(A)=1\neq0).
S^{-1}\!\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2z - x - y\\[4pt]2z - x - 2y\\[4pt]x - z + y\end{pmatrix}.]

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