1. ( 2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
    a) () S: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por S(x, y, z)=(x+y, x-z), é uma transformação linear.
    b) ( ) Se T: V \longrightarrow V é um operador linear e \lambda \in \mathbb{R} é um autovalor de T, então \lambda^{2} é um autovalor de T \circ T.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Temos dois itens para decidir: cada um deve ser marcado com V (verdadeiro) ou F (falso) e justificativa.
  • (a) A transformação S: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} é definida por S(x,y,z)=(x+y,\;x-z). Precisa-se verificar se S é linear.
  • (b) Seja T: V \longrightarrow V um operador linear em um espaço vetorial real V. Diz-se que \lambda\in\mathbb{R} é autovalor (eigenvalue) de T. A afirmação a verificar é: então \lambda^{2} é autovalor de T\circ T (isto é, do operador T composto com ele mesmo).
Informações relevantes que usaremos (definições que precisamos aplicar):
  • Uma transformação L: U\to W entre espaços vetoriais é linear se, para todos u_1,u_2\in U e todo escalar c\in\mathbb{R}, vale L(u_1+u_2)=L(u_1)+L(u_2) \qquad\text{e}\qquad L(c\,u_1)=c\,L(u_1).
  • Dizemos que \lambda é autovalor de um operador linear T se existe um vetor não nulo v\in V tal que T(v)=\lambda v.

Passo 2

Verificação detalhada de (a): testar as propriedades de linearidade para S.
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e w=(x_2,y_2,z_2) vetores de \mathbb{R}^3. Primeiro calcule S(u+w).
u+w=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando S:
S(u+w)=\bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)-(z_1+z_2)\bigr).
Agrupando termos:
S(u+w)=\bigl((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\; (x_1-z_1)+(x_2-z_2)\bigr).
Agora calcule S(u)+S(w). Temos
S(u)=(x_1+y_1,\;x_1-z_1),\qquad S(w)=(x_2+y_2,\;x_2-z_2),
logo
S(u)+S(w)=\bigl((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\; (x_1-z_1)+(x_2-z_2)\bigr).
Comparando, vemos que
S(u+w)=S(u)+S(w).
Agora verifiquemos homogeneidade: seja c\in\mathbb{R}. Para u=(x_1,y_1,z_1),
c\,u=(c x_1,\;c y_1,\;c z_1),
então
S(c\,u)=\bigl(c x_1 + c y_1,\; c x_1 - c z_1\bigr)=c\bigl(x_1+y_1,\; x_1-z_1\bigr)=c\,S(u).
Como as duas propriedades (adição e multiplicação por escalar) valem para quaisquer vetores e escalares, S é linear. (Uma observação rápida e útil: de forma imediata, uma transformação definida por combinações lineares das coordenadas — como x+y e x-z — costuma ser linear; os cálculos acima formalizam isso.)

Passo 3

Conclusão para (a).
Pelo que acabamos de demonstrar, S preserva soma e multiplicação por escalar, portanto S é uma transformação linear. Logo o item (a) é verdadeiro.

Passo 4

Verificação detalhada de (b): se \lambda é autovalor de T, então \lambda^{2} é autovalor de T\circ T?
Começamos pela definição: \lambda é autovalor de T significa que existe v\in V, v\neq 0, tal que
T(v)=\lambda v.
Agora aplicamos T de novo (isto é, consideramos T\circ T atuando em v):
(T\circ T)(v)=T\bigl(T(v)\bigr).
Substituindo T(v)=\lambda v:
(T\circ T)(v)=T(\lambda v).
Usando linearidade de T (podemos tirar o escalar para fora):
T(\lambda v)=\lambda\,T(v).
Novamente substituindo T(v)=\lambda v:
\lambda\,T(v)=\lambda\cdot(\lambda v)=\lambda^{2}v.
Portanto encontramos um vetor não nulo v tal que
(T\circ T)(v)=\lambda^{2}v.
Pela definição de autovalor, isso mostra que \lambda^{2} é autovalor de T\circ T, com o mesmo autovetor v.

Passo 5

Conclusão para (b) e comentário didático.
A demonstração mostra que a passagem de um autovalor \lambda de T para \lambda^{2} como autovalor de T\circ T é imediata: aplicar T duas vezes multiplica o fator escalar por \lambda duas vezes. Não há armadilhas aqui porque partimos de um autovetor v\neq 0; se v=0 nada se conclui, mas a definição exige vetor não nulo. Assim o item (b) é verdadeiro.
Um comentário extra (útil para provas): o raciocínio generaliza: se \lambda é autovalor de T, então para qualquer inteiro k\ge 1 o número \lambda^{k} é autovalor de T^{k}=T\circ T\circ\cdots\circ T (com k cópias), pois T^{k}(v)=\lambda^{k}v.

Resposta

a) V
b) V

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