- ( 2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) ()
, definida por
, é uma transformação linear.
b) ( ) Se
é um operador linear e
é um autovalor de
, então
é um autovalor de
.
a) ()
b) ( ) Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- Temos dois itens para decidir: cada um deve ser marcado com
(verdadeiro) ou (falso) e justificativa. - (a) A transformação
é definida por . Precisa-se verificar se é linear. - (b) Seja
um operador linear em um espaço vetorial real . Diz-se que é autovalor (eigenvalue) de . A afirmação a verificar é: então é autovalor de (isto é, do operador composto com ele mesmo).
Informações relevantes que usaremos (definições que precisamos aplicar):
- Uma transformação
entre espaços vetoriais é linear se, para todos e todo escalar , vale - Dizemos que
é autovalor de um operador linear se existe um vetor não nulo tal que
Passo 2
Verificação detalhada de (a): testar as propriedades de linearidade para
.
Sejam
e
vetores de
. Primeiro calcule
.
Aplicando
:
Agrupando termos:
Agora calcule
. Temos
logo
Comparando, vemos que
Agora verifiquemos homogeneidade: seja
. Para
,
então
Como as duas propriedades (adição e multiplicação por escalar) valem para quaisquer vetores e escalares,
é linear. (Uma observação rápida e útil: de forma imediata, uma transformação definida por combinações lineares das coordenadas — como
e
— costuma ser linear; os cálculos acima formalizam isso.)
Passo 3
Conclusão para (a).
Pelo que acabamos de demonstrar,
preserva soma e multiplicação por escalar, portanto
é uma transformação linear. Logo o item (a) é verdadeiro.
Passo 4
Verificação detalhada de (b): se
é autovalor de
, então
é autovalor de
?
Começamos pela definição:
é autovalor de
significa que existe
,
, tal que
Agora aplicamos
de novo (isto é, consideramos
atuando em
):
Substituindo
:
Usando linearidade de
(podemos tirar o escalar para fora):
Novamente substituindo
:
Portanto encontramos um vetor não nulo
tal que
Pela definição de autovalor, isso mostra que
é autovalor de
, com o mesmo autovetor
.
Passo 5
Conclusão para (b) e comentário didático.
A demonstração mostra que a passagem de um autovalor
de
para
como autovalor de
é imediata: aplicar
duas vezes multiplica o fator escalar por
duas vezes. Não há armadilhas aqui porque partimos de um autovetor
; se
nada se conclui, mas a definição exige vetor não nulo. Assim o item (b) é verdadeiro.
Um comentário extra (útil para provas): o raciocínio generaliza: se
é autovalor de
, então para qualquer inteiro
o número
é autovalor de
(com
cópias), pois
.
Resposta
a) V
b) V
b) V