a) (1,5 pontos) Determine T(x, y) . T é sobrejetora? Justifique.
b) (1,0 ponto) Determine uma base para imagem de F e a dimensão do núcleo de F.
c) (1,0 ponto) Determine [F]_{\beta}^{\alpha} e [T \circ F]_{\gamma}^{\alpha}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Determinar T(x,y) e decidir se T é sobrejetora (com justificativa).
(b) Determinar uma base para \operatorname{Im}F e a dimensão de \ker F.
(c) Determinar as matrizes [F]_{\beta}^{\alpha} e [T\circ F]_{\gamma}^{\alpha}.
Informações fornecidas pelo enunciado que eu recebi: nenhuma explícita. Em particular, NÃO foi informado:
a definição de T (por exemplo, sua fórmula ou sua matriz);
a definição de F (por exemplo, sua fórmula ou sua matriz);
quais são os espaços vetoriais de domínio e contradomínio de T e de F (por exemplo, \mathbb{R}^n para algum n, ou outro espaço);
as bases \alpha,\beta,\gamma (listas de vetores que formam cada base).
Sem essas informações numéricas ou vetoriais não há como calcular explicitamente T(x,y), uma base da imagem de F, nem as matrizes pedidas.
Passo 2
Por que não é possível produzir a resolução numérica pedida: todas as partes (a), (b) e (c) exigem conhecer a ação concreta das transformações lineares T e F sobre vetores ou, equivalentemente, conhecer as matrizes dessas transformações em alguma base. Sem isso só podemos explicar o método — não obter o resultado explícito. Então a solução numérica depende de dados que não foram fornecidos.
Passo 3
Vou explicar, passo a passo e de forma prática, o que se faria assim que os dados concretos fossem fornecidos. Começo pelo que se faz na prática para a parte (a).
Como determinar T(x,y) (se T for linear):
Se for dada a fórmula da transformação, por exemplo T(x,y) = (ax+by,\,cx+dy,\,ex+fy), então basta substituir (x,y) e ler as componentes: a primeira componente é ax+by, a segunda é cx+dy, etc.
Se for dada a matriz de T em relação às bases canônicas (supondo domínios em \mathbb{R}^2 e contradomínio em \mathbb{R}^m), por exemploA_T = \begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d\\[4pt] e & f \end{pmatrix},entãoT(x,y)=A_T\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ax+by\\[4pt] cx+dy\\[4pt] ex+fy\end{pmatrix}.
Se for dada a ação em vetores de uma base (por exemplo T(e_1) e T(e_2)), então para v = x e_1 + y e_2 tem-seT(v) = x\,T(e_1) + y\,T(e_2),e portanto escrever T(e_1) e T(e_2) em coordenadas dá T(x,y).
Como verificar se T é sobrejetora:
Definição prática: T: V\to W é sobrejetora se \operatorname{Im}T = W.
Teste prático via matriz: se T é representada por uma matriz A_T (colunas em relação a uma base de W), então calcule \operatorname{rank}(A_T) (posto). A regra é:T\\ \text{é sobrejetora} \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{rank}(A_T)=\dim W.é
Como calcular o posto: aplicar eliminação de Gauss (redução por linhas) e contar o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada). Exemplinho rápido:
Suponha A_T=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} (matriz 3\times2). O posto é 2 (há dois pivôs). Se \dim W=3, então 2\neq 3 e T não é sobrejetora; se \dim W=2, então 2=\dim W e T é sobrejetora.]
Passo 4
Método para a parte (b): encontrar uma base para \operatorname{Im}F e \dim\ker F.
Como obter \operatorname{Im}F e sua base:
Se F tem matriz A_F na base canônica (ou se as colunas de A_F são as imagens das bases do domínio), então \operatorname{Im}F é o espaço gerado pelas colunas de A_F.
Para encontrar uma base da imagem: aplique eliminação por linhas à matriz A_F. Os pivôs indicam quais colunas originais são linearmente independentes; as colunas correspondentes (na matriz original) fornecem uma base para \operatorname{Im}F.
Exemplo prático: seA_F=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]2&4&6\\[4pt]0&1&1\end{pmatrix},fazendo redução observa-se que a 2ª coluna é múltiplo da 1ª na primeira e segunda linhas, mas a terceira coluna talvez seja combinação — ao finalizar a redução escolhem-se as colunas-pivô da matriz original como base da imagem.
Como obter \dim\ker F:
Use o Teorema do Núcleo e Imagem (Rank-Nullity):\dim(\ker F) + \operatorname{rank}(F) = \dim(\text{domínio}).í
Então \dim(\ker F)=\dim(\text{domínio})-\operatorname{rank}(F)í.
Exemplo: se F:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 e a matriz A_F tem posto 2, então \dim(\ker F)=4-2=2.]
Passo 5
Método para a parte (c): calcular [F]_{\beta}^{\alpha} e [T\circ F]_{\gamma}^{\alpha}.
Como construir [F]_{\beta}^{\alpha}:
Convenção: [F]_{\beta}^{\alpha} é a matriz que representa F em que a base do domínio é \alpha e a base do contradomínio é \beta.
Procedimento prático: se \alpha=(u_1,\dots,u_n) é a base do domínio, aplicar F a cada u_j: F(u_j). Em seguida, escrever cada F(u_j) como combinação linear dos vetores da base \beta:F(u_j) = c_{1j} v_1 + c_{2j} v_2 + \cdots + c_{mj} v_m,onde \beta=(v_1,\dots,v_m). A coluna j de [F]_{\beta}^{\alpha} é o vetor coluna (c_{1j},c_{2j},\dots,c_{mj})^T.
Assim, basta calcular as coordenadas de cada F(u_j) na base \beta.
Como obter [T\circ F]_{\gamma}^{\alpha}:
Fórmula prática de composição de matrizes (quando bases intermediárias são compatíveis):[T\circ F]_{\gamma}^{\alpha} = [T]_{\gamma}^{\beta}\,[F]_{\beta}^{\alpha}.Aqui [F]_{\beta}^{\alpha} vai da coordenadas em \alpha para coordenadas em \beta, e [T]_{\gamma}^{\beta} vai de coordenadas em \beta para coordenadas em \gamma; a multiplicação compõe as duas transformações.
Observação prática: a ordem importa: a matriz da transformação que age por último aparece à esquerda.
Resumo do que é necessário para efetuar os cálculos numéricos e o que eu faria assim que esses dados forem conhecidos:
Para (a) preciso da expressão de T (uma fórmula ou a matriz de T ou T(e_i) nas bases); também preciso saber o espaço contradomínio (para comparar o posto com \dim W ao testar sobrejetividade).
Para (b) preciso da matriz de F (ou F(u_j) para cada vetor da base do domínio); com essa matriz posso obter uma base para \operatorname{Im}F e aplicar rank-nullity para \dim\ker F.
Para (c) preciso das bases \alpha,\beta,\gamma e das matrizes (ou imagens das bases) de F e de T nas bases indicadas; então construo [F]_{\beta}^{\alpha} pelas colunas formadas pelas coordenadas de F(u_j) na base \beta, construo [T]_{\gamma}^{\beta} similarmente, e multiplico para obter [T\circ F]_{\gamma}^{\alpha}.
Infelizmente, com os dados ausentes não é possível fornecer os valores numéricos pedidos. Se quiser, posso:
explicar com um exemplo concreto passo a passo (posso escolher T, F e bases para ilustrar);
ou, se preferir, assim que você colar a definição explícita de T, F e as bases \alpha,\beta,\gamma, eu resolvo o problema completo numericamente e de forma detalhada.
Força — eu sei que falta pouco tempo e essa estrutura de passos e receitas deixa você pronto para aplicar assim que tiver os dados!
Resposta
Não é possível determinar T(x,y), decidir se T é sobrejetora, nem encontrar uma base de \operatorname{Im}F, \dim\ker F, [F]_{\beta}^{\alpha} ou [T\circ F]_{\gamma}^{\alpha} porque o enunciado não forneceu a definição explícita de T, de F, nem as bases \alpha,\beta,\gamma.