(3 pontos) Considere a seguinte equação diferencial:
x y+\left(x^{2}+2 y^{2}-15\right) \frac{d y}{d x}=0
a) (0,5 ponto) Mostre que essa equação não é exata;
b) ( 0,5 ponto) Multiplique (1) por \mu(x, y)=y e mostre que a nova equação obtida é exata;
c) (2 pontos) Encontre uma solução geral da equação obtida no item anterior.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x y+\left(x^{2}+2 y^{2}-15\right)\frac{d y}{d x}=0.
As perguntas são:
  • (a) Mostrar que essa equação NÃO é exata.
  • (b) Multiplicar a equação por \mu(x,y)=y e mostrar que a nova equação é exata.
  • (c) Encontrar a solução geral da equação obtida no item (b).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser escrita na forma diferencial clássica M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x y e N(x,y)=x^{2}+2y^{2}-15.
  • O fator integrante proposto é \mu(x,y)=y.
    A resolução começa a seguir.

Passo 2

Primeiro, lembrar a condição de exatidão (afinal, é o que pedem no item (a)). Para uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
ela é exata se existir uma função \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M\qquad\text{e}\qquad\frac{\partial \Psi}{\partial y}=N.
Uma condição prática (quando M e N são suficientemente suaves) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui, identifiquei
M(x,y)=x y,\qquad N(x,y)=x^{2}+2y^{2}-15.
Agora calculo as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y)=x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+2y^{2}-15)=2x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=x e \frac{\partial N}{\partial x}=2x, elas NÃO são iguais (exceto possivelmente em pontos isolados). Portanto a equação original NÃO é exata, o que responde o item (a).

Passo 3

Agora atendo o item (b): multiplicar a equação por \mu(x,y)=y. Multiplicando toda a equação por y obtemos a forma
y\cdot x y + y\cdot\bigl(x^{2}+2y^{2}-15\bigr)\frac{d y}{d x}=0.
Ou, escrevendo novamente como M\,dx+N\,dy=0,
\underbrace{x y^{2}}_{\tilde M(x,y)}\,dx+\underbrace{\bigl(x^{2}y+2y^{3}-15y\bigr)}_{\tilde N(x,y)}\,dy=0.
Agora verifico a condição de exatidão para \tilde M,\tilde N:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=2x y,
\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y+2y^{3}-15y)=2x y.
Como \frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=2x y, a equação multiplicada por y É exata. Isso responde o item (b).

Passo 4

Explicar a técnica para resolver a equação exata encontrada (passo para o item (c)). Para uma equação exata
\tilde M(x,y)\,dx+\tilde N(x,y)\,dy=0
existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\tilde M(x,y),\qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=\tilde N(x,y).
A solução geral implícita é \Psi(x,y)=C (constante). O procedimento prático:
  1. Integro \tilde M em relação a x, tratando y como constante, para obter \Psi(x,y)=\int \tilde M\,dx + h(y), onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  2. Determino h'(y) impondo \partial \Psi/\partial y=\tilde N.
  3. Integro h'(y) para achar h(y) e, finalmente, \Psi(x,y).
Vou aplicar esse procedimento com \tilde M=x y^{2} e \tilde N=x^{2}y+2y^{3}-15y.

Passo 5

Integro \tilde M(x,y)=x y^{2} em relação a x (tratando y como constante):
\Psi(x,y)=\int x y^{2}\,dx = y^{2}\int x\,dx = y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}+\;h(y).
Logo
\Psi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h(y).

Passo 6

Agora ajusto h(y) usando a condição \partial \Psi/\partial y=\tilde N. Calculo
\frac{\partial \Psi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h(y)\right)=x^{2}y+h'(y).
Deve valer
x^{2}y+h'(y)=\tilde N(x,y)=x^{2}y+2y^{3}-15y.
Cancelando x^{2}y dos dois lados obtenho
h'(y)=2y^{3}-15y.
Integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int(2y^{3}-15y)\,dy=\frac{1}{2}y^{4}-\frac{15}{2}y^{2}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. (Vou absorver constantes no final.)

Passo 7

Portanto a função potencial é
\Psi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+\frac{1}{2}y^{4}-\frac{15}{2}y^{2}.
A solução geral implícita da equação exata é \Psi(x,y)=C. Multiplicando por 2 para simplificar a aparência da constante, obtemos a forma mais simples
x^{2}y^{2}+y^{4}-15y^{2}=C,
ou, factorando y^{2},
y^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}-15\bigr)=C.
Uma observação prática: a solução y\equiv 0 é contemplada aqui (corresponde a C=0). Ao multiplicar inicialmente por \mu=y não se perde essa solução, pois ela aparece na família implícita com a constante adequada.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=x\neq\frac{\partial N}{\partial x}=2x, logo a equação original não é exata.
(b) Após multiplicar por \mu(x,y)=y obtém-se \tilde M=x y^{2} e \tilde N=x^{2}y+2y^{3}-15y e \displaystyle \frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=2xy, logo a nova equação é exata.
(c) Solução geral implícita:
x^{2}y^{2}+y^{4}-15y^{2}=C,
ou equivalentemente \displaystyle y^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}-15\bigr)=C, com C constante.

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