(3 pontos) Considere a seguinte equação diferencial:
x y+\left(x^{2}+2 y^{2}-15\right) \frac{d y}{d x}=0
a) (0,5 ponto) Mostre que essa equação não é exata;
b) ( 0,5 ponto) Multiplique (1) por \mu(x, y)=y e mostre que a nova equação obtida é exata;
c) (2 pontos) Encontre uma solução geral da equação obtida no item anterior.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
x y+\left(x^{2}+2 y^{2}-15\right)\frac{d y}{d x}=0.
As perguntas são:
(a) Mostrar que essa equação NÃO é exata.
(b) Multiplicar a equação por \mu(x,y)=y e mostrar que a nova equação é exata.
(c) Encontrar a solução geral da equação obtida no item (b).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação pode ser escrita na forma diferencial clássica M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x y e N(x,y)=x^{2}+2y^{2}-15.
O fator integrante proposto é \mu(x,y)=y.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Primeiro, lembrar a condição de exatidão (afinal, é o que pedem no item (a)). Para uma equação na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
ela é exata se existir uma função \Psi(x,y) tal que
Como \frac{\partial M}{\partial y}=x e \frac{\partial N}{\partial x}=2x, elas NÃO são iguais (exceto possivelmente em pontos isolados). Portanto a equação original NÃO é exata, o que responde o item (a).
Passo 3
Agora atendo o item (b): multiplicar a equação por \mu(x,y)=y. Multiplicando toda a equação por y obtemos a forma
y\cdot x y + y\cdot\bigl(x^{2}+2y^{2}-15\bigr)\frac{d y}{d x}=0.
A solução geral implícita é \Psi(x,y)=C (constante). O procedimento prático:
Integro \tilde M em relação a x, tratando y como constante, para obter \Psi(x,y)=\int \tilde M\,dx + h(y), onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
Determino h'(y) impondo \partial \Psi/\partial y=\tilde N.
Integro h'(y) para achar h(y) e, finalmente, \Psi(x,y).
Vou aplicar esse procedimento com \tilde M=x y^{2} e \tilde N=x^{2}y+2y^{3}-15y.
Passo 5
Integro \tilde M(x,y)=x y^{2} em relação a x (tratando y como constante):
\Psi(x,y)=\int x y^{2}\,dx = y^{2}\int x\,dx = y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}+\;h(y).
Logo
\Psi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+h(y).
Passo 6
Agora ajusto h(y) usando a condição \partial \Psi/\partial y=\tilde N. Calculo
A solução geral implícita da equação exata é \Psi(x,y)=C. Multiplicando por 2 para simplificar a aparência da constante, obtemos a forma mais simples
x^{2}y^{2}+y^{4}-15y^{2}=C,
ou, factorando y^{2},
y^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}-15\bigr)=C.
Uma observação prática: a solução y\equiv 0 é contemplada aqui (corresponde a C=0). Ao multiplicar inicialmente por \mu=y não se perde essa solução, pois ela aparece na família implícita com a constante adequada.
Resposta
(a) \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=x\neq\frac{\partial N}{\partial x}=2x, logo a equação original não é exata.
(b) Após multiplicar por \mu(x,y)=y obtém-se \tilde M=x y^{2} e \tilde N=x^{2}y+2y^{3}-15y e \displaystyle \frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial \tilde N}{\partial x}=2xy, logo a nova equação é exata.
(c) Solução geral implícita:
x^{2}y^{2}+y^{4}-15y^{2}=C,
ou equivalentemente \displaystyle y^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}-15\bigr)=C, com C constante.