(1,5 pontos) Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial:
\frac{d y}{d x}=2 x y, \quad y(0)=1 .

Passo 1

O enunciado dá um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação diferencial: \dfrac{d y}{d x}=2 x y.
  • Condição inicial: y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x em algum intervalo contendo 0 e que, além disso, toma o valor 1 em x=0.

Passo 2

Observação e estratégia (sem avançar nos cálculos ainda).
  • A equação tem a forma em que o termo do lado direito é produto de uma função de x por uma função de y (especificamente 2x vezes y). Isso indica que a equação é separável: é possível colocar todos os termos envolvendo y de um lado e todos os termos envolvendo x do outro.
  • A ideia de separação de variáveis é: escrever a equação de modo que fique algo como \text{(função de }y)\,dy = \text{(função de }x)\,dxçãçã e integrar os dois lados.
  • Atenção técnica: para dividir por y precisamos que y\neq 0. Isso é compatível com a condição inicial y(0)=1, que garante y não é zero no ponto inicial; a solução que vamos obter é contínua e manterá consistência com isso.

Passo 3

Separar variáveis e preparar para integrar.
  • Partindo de \dfrac{d y}{d x}=2 x y, escrevemos em diferencial:
d y = 2 x y\, d x.
  • Dividindo ambos os lados por y (permitido porque buscamos solução que passa por y(0)=1\neq0):
\frac{d y}{y} = 2 x\, d x.
Agora os lados estão separados: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x. Próximo passo: integrar ambos os lados.

Passo 4

Integrar ambos os lados e explicar cada integral.
  • Integral do lado esquerdo: \displaystyle \int \frac{d y}{y} = \ln|y| + C_1. Aqui usa-se que a primitiva de 1/y é \ln|y|; o valor absoluto aparece porque a função logarítmica natural está definida para argumentos positivos.
  • Integral do lado direito: \displaystyle \int 2 x\, d x = x^{2} + C_2. Isso vem da regra de potência: \int x\,dx = x^{2}/2, então \int 2x\,dx = 2\cdot x^{2}/2 = x^{2}.
  • Igualando as duas primitivas (podemos juntar as constantes numa única constante C):
\ln|y| = x^{2} + C,
onde C = C_2 - C_1 é uma constante arbitrária real.

Passo 5

Isolar y a partir do logaritmo (exponenciação) e interpretar a constante.
  • Aplicando exponencial em ambos os lados:
|y| = e^{x^{2} + C} = e^{C}\,e^{x^{2}}.
  • Definindo a constante positiva A = e^{C}>0, obtemos |y| = A e^{x^{2}}.
  • Isso dá duas possibilidades de sinal: y = A e^{x^{2}} ou y = -A e^{x^{2}}. Em vez de lidar separadamente, é comum escrever a solução geral como
y(x) = K e^{x^{2}},
onde K é uma constante real arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero). Note que K=0 produz a solução trivial y\equiv0, mas essa não satisfaz a condição inicial y(0)=1.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar a constante K.
  • A condição é y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0) = K e^{0} = K \cdot 1 = K.
  • Portanto K = 1.

Passo 7

Conclusão e verificação rápida (como checar na prova).
  • A constante determinada dá a solução particular do PVI:
y(x) = e^{x^{2}}.
  • Verificação rápida: calcular a derivada \dfrac{d y}{d x} = \dfrac{d}{d x}\bigl(e^{x^{2}}\bigr) = 2 x e^{x^{2}}. Como y(x)=e^{x^{2}}, isso é 2 x y, que coincide com o lado direito da equação original; e claramente y(0)=e^{0}=1. Assim a solução satisfaz tanto a equação quanto a condição inicial.
  • Dica para prova: montar a separação \dfrac{d y}{y}=2x\,dx, integrar, exponenciar e aplicar a condição inicial — esse é um roteiro curto e seguro.

Resposta

y(x)=e^{x^{2}}

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