(1,5 pontos) Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial:
Passo 1
O enunciado dá um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
em algum intervalo contendo
e que, além disso, toma o valor
em
.
Passo 2
Observação e estratégia (sem avançar nos cálculos ainda).
- A equação tem a forma em que o termo do lado direito é produto de uma função de
por uma função de (especificamente vezes ). Isso indica que a equação é separável: é possível colocar todos os termos envolvendo de um lado e todos os termos envolvendo do outro. - A ideia de separação de variáveis é: escrever a equação de modo que fique algo como
e integrar os dois lados. - Atenção técnica: para dividir por
precisamos que . Isso é compatível com a condição inicial , que garante não é zero no ponto inicial; a solução que vamos obter é contínua e manterá consistência com isso.
Passo 3
Separar variáveis e preparar para integrar.
- Partindo de
, escrevemos em diferencial:
- Dividindo ambos os lados por
(permitido porque buscamos solução que passa por ):
Agora os lados estão separados: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Próximo passo: integrar ambos os lados.
Passo 4
Integrar ambos os lados e explicar cada integral.
- Integral do lado esquerdo:
. Aqui usa-se que a primitiva de é ; o valor absoluto aparece porque a função logarítmica natural está definida para argumentos positivos. - Integral do lado direito:
. Isso vem da regra de potência: , então . - Igualando as duas primitivas (podemos juntar as constantes numa única constante
):
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 5
Isolar
a partir do logaritmo (exponenciação) e interpretar a constante.
- Aplicando exponencial em ambos os lados:
- Definindo a constante positiva
, obtemos . - Isso dá duas possibilidades de sinal:
ou . Em vez de lidar separadamente, é comum escrever a solução geral como
onde
é uma constante real arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero). Note que
produz a solução trivial
, mas essa não satisfaz a condição inicial
.
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar a constante
.
- A condição é
. Substituindo na expressão geral:
- Portanto
.
Passo 7
Conclusão e verificação rápida (como checar na prova).
- A constante determinada dá a solução particular do PVI:
- Verificação rápida: calcular a derivada
Como , isso é , que coincide com o lado direito da equação original; e claramente . Assim a solução satisfaz tanto a equação quanto a condição inicial. - Dica para prova: montar a separação
, integrar, exponenciar e aplicar a condição inicial — esse é um roteiro curto e seguro.