(2 pontos) Considere a sequência com termo geral
(a) Verifique se a sequência
é monótona.
(b) Verifique se a sequência
& limitada.
(c) A sequência é convergente?
(b) Verifique se a sequência
(c) A sequência é convergente?
Passo 1
Temos a sequência
. O que o exercício pede? (a) verificar se ela é monótona; (b) se é limitada; (c) se converge. Vamos usar como ferramentas a definição de sequência decrescente (
) e o cálculo de limite quando
.
Passo 2
Para checar a monotonicidade, comparamos
com
. Calculamos a diferença:
Como a diferença é negativa para todo
, temos
. Logo, a sequência é monótona decrescente.
Passo 3
Para ver se é limitada, notamos que para todo
o denominador
é sempre positivo e cresce com
. Então
Isso mostra que
está limitada inferiormente por 0 e superiormente por
.
Passo 4
Para verificar a convergência, basta calcular o limite quando
. Como o denominador
cresce sem parar, temos
Logo, a sequência converge e seu limite é 0.
Resposta
(a) É monótona decrescente. (b) É limitada, pois
. (c) É convergente e converge para 0.