(2 pontos) Considere a sequência com termo geral
an=12 n+3
(a) Verifique se a sequência an é monótona.
(b) Verifique se a sequência an & limitada.
(c) A sequência é convergente?

Passo 1

Temos a sequência an = 12n+3. O que o exercício pede? (a) verificar se ela é monótona; (b) se é limitada; (c) se converge. Vamos usar como ferramentas a definição de sequência decrescente ( an+1<an) e o cálculo de limite quando ntoinfty.

Passo 2

Para checar a monotonicidade, comparamos an+1 com an. Calculamos a diferença:
an+1-an = 12(n+1)+3-12n+3 = 12n+5-12n+3 = (2n+3)-(2n+5)(2n+5)(2n+3) = -2(2n+5)(2n+3)<0
Como a diferença é negativa para todo n>=1, temos an+1<an. Logo, a sequência é monótona decrescente.

Passo 3

Para ver se é limitada, notamos que para todo n>=1 o denominador 2n+3 é sempre positivo e cresce com n. Então
0< an = 12n+3<= 12cdot1+3=15
Isso mostra que an está limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1/5.

Passo 4

Para verificar a convergência, basta calcular o limite quando ntoinfty. Como o denominador 2n+3 cresce sem parar, temos
limntoinftyan = limntoinfty12n+3 = 0
Logo, a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

(a) É monótona decrescente. (b) É limitada, pois 0< an<= 1/5. (c) É convergente e converge para 0.

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